Calcul infinitésimal Exemples

$3^{2 x} - 3^{x + 2} + 8 = 0$

Étape 1

Réécrivez $3^{x + 2}$ comme $3^{x} \cdot 3^{2}$ .

$3^{2 x} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

Étape 2

Réécrivez $3^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(3^{x})}^{2} - (3^{x} \cdot 3^{2}) + 8 = 0$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

${(3^{x})}^{2} - 3^{x} \cdot 3^{2} + 8 = 0$

Étape 4

Remplacez $3^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - u \cdot 3^{2} + 8 = 0$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u^{2} - u \cdot 9 + 8 = 0$

Étape 5.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$u^{2} - 9 u + 8 = 0$

Étape 6

Résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Factorisez $u^{2} - 9 u + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 8, - 1$

Étape 6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Étape 6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 6.3

Définissez $u - 8$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $u - 8$ égal à $0$ .

$u - 8 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 8$

Étape 6.4

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 6.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 6.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 8) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 8, 1$

Étape 7

Remplacez $u$ par $8$ dans $u = 3^{x}$ .

$8 = 3^{x}$

Étape 8

Résolvez $8 = 3^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 8$ .

$3^{x} = 8$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (8)$

Étape 8.3

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (3) = \ln (8)$

Étape 8.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (8)$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 8.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (8)$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Étape 8.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $1$ dans $u = 3^{x}$ .

$1 = 3^{x}$

Étape 10

Résolvez $1 = 3^{x}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 1$ .

$3^{x} = 1$

Étape 10.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Étape 10.3

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Étape 10.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Étape 10.5

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 10.5.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = 0$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 10.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 10.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Étape 10.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.5.3.1

Divisez $0$ par $\ln (3)$ .

$x = 0$

Étape 11

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3)}, 0$

Forme décimale :

$x = 1.89278926 \dots, 0$