Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{12}{2 x^{2} - x - 1}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{5}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{12}{2 x^{2} - (x) - 1}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$\frac{5}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{12}{2 x^{2} + (1 - 2) x - 1}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{12}{2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1}$

Étape 1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{5}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{12}{2 x^{2} + x - 2 x - 1}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{5}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{12}{(2 x^{2} + x) - 2 x - 1}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{5}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{12}{x (2 x + 1) - (2 x + 1)}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$\frac{5}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 x + 1, x - 1, (2 x + 1) (x - 1)$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $2 x + 1$ est $2 x + 1$ lui-même.

$(2 x + 1) = 2 x + 1$

$(2 x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $2 x + 1$ est $2 x + 1$ lui-même.

$(2 x + 1) = 2 x + 1$

$(2 x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $2 x + 1, x - 1, 2 x + 1, x - 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(2 x + 1) (x - 1)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{5}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)}$ par $(2 x + 1) (x - 1)$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{5}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)}$ par $(2 x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{5}{2 x + 1} ((2 x + 1) (x - 1)) + \frac{2}{x - 1} ((2 x + 1) (x - 1)) = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{2 x + 1} ((2 x + 1) (x - 1)) + \frac{2}{x - 1} ((2 x + 1) (x - 1)) = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 (x - 1) + \frac{2}{x - 1} ((2 x + 1) (x - 1)) = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x + 5 \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} ((2 x + 1) (x - 1)) = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$5 x - 5 + \frac{2}{x - 1} ((2 x + 1) (x - 1)) = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(2 x + 1) (x - 1)$ .

$5 x - 5 + \frac{2}{x - 1} ((x - 1) (2 x + 1)) = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$5 x - 5 + \frac{2}{x - 1} ((x - 1) (2 x + 1)) = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$5 x - 5 + 2 (2 x + 1) = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$5 x - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 x - 5 + 4 x + 2 \cdot 1 = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 x - 5 + 4 x + 2 = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Additionnez $5 x$ et $4 x$ .

$9 x - 5 + 2 = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $- 5$ et $2$ .

$9 x - 3 = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $(2 x + 1) (x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 x - 3 = \frac{12}{(2 x + 1) (x - 1)} ((2 x + 1) (x - 1))$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$9 x - 3 = 12$

Étape 4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 12 + 3$

Étape 4.1.2

Additionnez $12$ et $3$ .

$9 x = 15$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 15$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 15$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{15}{9}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{15}{9}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{15}{9}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $15$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$x = \frac{3 (5)}{9}$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$x = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3}$

Étape 4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{5}{3}$

Forme décimale :

$x = 1.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$x = 1 \frac{2}{3}$