Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} - x = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - x = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 1 = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 1$ .

$x (x^{3} - 1) = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Étape 1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Étape 1.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Étape 1.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $x^{2} + x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{2} + x + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$