Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - x = \log_{5} (25)$

Étape 1

La base logarithmique $5$ de $25$ est $2$ .

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Étape 1.1

Réécrivez comme une équation.

$x^{2} - x = \log_{5} (25) = x$

Étape 1.2

Réécrivez $\log_{5} (25) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{2} - x = 5^{x} = 25$

Étape 1.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$x^{2} - x = 5^{x} = 5^{2}$

Étape 1.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x^{2} - x = x = 2$

Étape 1.5

La variable $x$ est égale à $2$ .

$x^{2} - x = 2$

Étape 2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$