Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} = 8 e^{2 x}$

Étape 1

Soustrayez $8 e^{2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - 8 e^{2 x} = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - 8 e^{2 x}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $x^{2} e^{2 x}$ .

$e^{2 x} x^{2} + 2 x e^{2 x} - 8 e^{2 x} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) - 8 e^{2 x} = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- 8 e^{2 x}$ .

$e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 8 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$ .

$e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 8 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 8$ .

$e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$e^{2 x} ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{2 x} (x - 2) (x + 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4

Définissez $e^{2 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $e^{2 x}$ égal à $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $e^{2 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Étape 4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{2 x} = 0$

Aucune solution

Étape 5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{2 x} (x - 2) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 4$