Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 4) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 4) (x - 4)) = 1$

Étape 1.2

Développez $(x + 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = 1$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = 1$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Étape 1.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 4$ et $4 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = 1$

Étape 1.3.1.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = 1$

Étape 1.3.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = 1$

Étape 1.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 \cdot - 4) = 1$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\log_{2} (x^{2} - 16) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{2} (x^{2} - 16) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{1} = x^{2} - 16$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - 16 = 2^{1}$ .

$x^{2} - 16 = 2$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2 + 16$

Étape 3.2.2

Additionnez $2$ et $16$ .

$x^{2} = 18$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{18}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{18}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Étape 3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 \sqrt{2}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x - 4) = 1$ vrai.

$x = 3 \sqrt{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 3 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$x = 4.24264068 \dots$