Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{x} (4) = \frac{2}{3}$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (4) = \frac{2}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 2.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm 2^{3}$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x = \pm 8$

Étape 2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{x} (4) = \frac{2}{3}$ vrai.

$x = 8$