Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{3 x + 2} + \sqrt{x + 7} = 1$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{x + 7}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 x + 2} = 1 - \sqrt{x + 7}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 x + 2}}^{2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + 2}$ comme ${(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x + 2)}^{1} = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$3 x + 2 = {(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(1 - \sqrt{x + 7})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{x + 7}) (1 - \sqrt{x + 7})$ .

$3 x + 2 = (1 - \sqrt{x + 7}) (1 - \sqrt{x + 7})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(1 - \sqrt{x + 7}) (1 - \sqrt{x + 7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 2 = 1 (1 - \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} (1 - \sqrt{x + 7})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 2 = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} (1 - \sqrt{x + 7})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 2 = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} \cdot 1 - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$3 x + 2 = 1 + 1 (- \sqrt{x + 7}) - \sqrt{x + 7} \cdot 1 - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $- \sqrt{x + 7}$ par $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} \cdot 1 - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{x + 7} (- \sqrt{x + 7})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + 1 \sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{x + 7}$ par $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{x + 7}$ à la puissance $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{1} \sqrt{x + 7}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{x + 7}$ à la puissance $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{1} {\sqrt{x + 7}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {\sqrt{x + 7}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ comme $x + 7$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + {(x + 7)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$3 x + 2 = 1 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + x + 7$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $1$ et $7$ .

$3 x + 2 = 8 - \sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 7} + x$

Étape 3.3.1.3.3

Soustrayez $\sqrt{x + 7}$ de $- \sqrt{x + 7}$ .

$3 x + 2 = 8 - 2 \sqrt{x + 7} + x$

Étape 4

Résolvez $- 2 \sqrt{x + 7}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $8 - 2 \sqrt{x + 7} + x = 3 x + 2$ .

$8 - 2 \sqrt{x + 7} + x = 3 x + 2$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 2 \sqrt{x + 7}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sqrt{x + 7} + x = 3 x + 2 - 8$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sqrt{x + 7} = 3 x + 2 - 8 - x$

Étape 4.2.3

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$- 2 \sqrt{x + 7} = 2 x + 2 - 8$

Étape 4.2.4

Soustrayez $8$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{x + 7} = 2 x - 6$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 2 \sqrt{x + 7})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 7)}^{1} = {(2 x - 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$4 (x + 7) = {(2 x - 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 7 = {(2 x - 6)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $4$ par $7$ .

$4 x + 28 = {(2 x - 6)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(2 x - 6)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(2 x - 6)}^{2}$ comme $(2 x - 6) (2 x - 6)$ .

$4 x + 28 = (2 x - 6) (2 x - 6)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(2 x - 6) (2 x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 28 = 2 x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 28 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 28 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x + 28 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$4 x + 28 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x + 28 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + 28 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 12 x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 6$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$4 x + 28 = 4 x^{2} - 24 x + 36$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} - 24 x + 36 = 4 x + 28$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x = 28$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 24 x$ .

$4 x^{2} - 28 x + 36 = 28$

Étape 7.3

Soustrayez $28$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 28 x + 36 - 28 = 0$

Étape 7.4

Soustrayez $28$ de $36$ .

$4 x^{2} - 28 x + 8 = 0$

Étape 7.5

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 28 x + 8$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 28 x + 8 = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 28 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 7 x) + 8 = 0$

Étape 7.5.3

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 x^{2} + 4 (- 7 x) + 4 \cdot 2 = 0$

Étape 7.5.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 7 x)$ .

$4 (x^{2} - 7 x) + 4 \cdot 2 = 0$

Étape 7.5.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 7 x) + 4 \cdot 2$ .

$4 (x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Étape 7.6

Divisez chaque terme dans $4 (x^{2} - 7 x + 2) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.6.1

Divisez chaque terme dans $4 (x^{2} - 7 x + 2) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 7 x + 2)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 7.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.6.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x^{2} - 7 x + 2)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 7.6.2.1.2

Divisez $x^{2} - 7 x + 2$ par $1$ .

$x^{2} - 7 x + 2 = \frac{0}{4}$

Étape 7.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.6.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Étape 7.7

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.8

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 7$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.9

Simplifiez

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Étape 7.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.9.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 7.9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.9.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.9.1.3

Soustrayez $8$ de $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}$

Étape 7.10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}, \frac{7 - \sqrt{41}}{2}$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{3 x + 2} + \sqrt{x + 7} = 1$ vrai.

$Aucune solution$