Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 6, 2, 6, 6 - x$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 1.5

$6$ a des facteurs de $2$ et $3$ .

$2 \cdot 3$

Étape 1.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.7

Le plus petit multiple commun de $1, 2, 6, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 3$

Étape 1.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$6$

Étape 1.9

Le facteur pour $x - 6$ est $x - 6$ lui-même.

$(x - 6) = x - 6$

$(x - 6)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.10

Le facteur pour $6 - x$ est $6 - x$ lui-même.

$(6 - x) = 6 - x$

$(6 - x)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.11

Le plus petit multiple commun de $x - 6, 6 - x$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 6) (6 - x)$

Étape 1.12

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$6 (x - 6) (6 - x)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ par $6 (x - 6) (6 - x)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ par $6 (x - 6) (6 - x)$ .

$\frac{x}{x - 6} (6 (x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 \frac{x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.2

Associez $6$ et $\frac{x}{x - 6}$ .

$\frac{6 x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{x - 6} ((x - 6) (6 - x)) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$6 x (6 - x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$6 x \cdot 6 + 6 x (- x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $6$ par $6$ .

$36 x + 6 x (- x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$36 x + 6 \cdot - 1 x \cdot x - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.7.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$36 x + 6 \cdot - 1 (x \cdot x) - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$36 x + 6 \cdot - 1 x^{2} - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.7.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} - \frac{1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (6 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $6 (x - 6) (6 - x)$ .

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (2 (3 (x - 6) (6 - x))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$36 x - 6 x^{2} + \frac{- 1}{2} (2 (3 (x - 6) (6 - x))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$36 x - 6 x^{2} - (3 (x - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.9

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x) - 6) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.10

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x) - 1 (6)) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (6)$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 (- 1 (- x + 6)) (6 - x)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 (- x + 6) (- x + 6)) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.13

Élevez $- x + 6$ à la puissance $1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 ({(- x + 6)}^{1} (- x + 6))) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.14

Élevez $- x + 6$ à la puissance $1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 ({(- x + 6)}^{1} {(- x + 6)}^{1})) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 {(- x + 6)}^{1 + 1}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (3 \cdot - 1 {(- x + 6)}^{2}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.17

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} - (- 3 {(- x + 6)}^{2}) = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.2.1.18

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = \frac{x}{6} (6 (x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 6 \frac{x}{6} ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 6 \frac{x}{6} ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x ((x - 6) (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.3

Développez $(x - 6) (6 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x (6 - x) - 6 (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x \cdot 6 + x (- x) - 6 (6 - x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (x \cdot 6 + x (- x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.4.1.1

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 \cdot x + x (- x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x \cdot x - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - (x \cdot x) - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 6 \cdot 6 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.4.1.4

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 36 - 6 (- x)) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (6 x - x^{2} - 36 + 6 x) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.4.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (12 x - x^{2} - 36) + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = x (12 x) + x (- x^{2}) + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.6

Simplifiez

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Étape 2.3.1.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x + x (- x^{2}) + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x - x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.6.3

Déplacez $- 36$ à gauche de $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x \cdot x - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.7.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x \cdot x^{2} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.7.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - (x^{2} x) - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.7.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - (x^{2} x^{1}) - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{2 + 1} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.7.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 \cdot x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{x + 6}{6 - x} (6 (x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 \frac{x + 6}{6 - x} ((x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.9

Associez $6$ et $\frac{x + 6}{6 - x}$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((x - 6) (6 - x))$

Étape 2.3.1.10

Annulez le facteur commun de $6 - x$ .

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Étape 2.3.1.10.1

Factorisez $6 - x$ à partir de $(x - 6) (6 - x)$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((6 - x) (x - 6))$

Étape 2.3.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + \frac{6 (x + 6)}{6 - x} ((6 - x) (x - 6))$

Étape 2.3.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 (x + 6) (x - 6)$

Étape 2.3.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + (6 x + 6 \cdot 6) (x - 6)$

Étape 2.3.1.12

Multipliez $6$ par $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + (6 x + 36) (x - 6)$

Étape 2.3.1.13

Développez $(6 x + 36) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x (x - 6) + 36 (x - 6)$

Étape 2.3.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 6 + 36 (x - 6)$

Étape 2.3.1.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

Étape 2.3.1.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.14.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.14.1.1.1

Déplacez $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

Étape 2.3.1.14.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 6 + 36 x + 36 \cdot - 6$

Étape 2.3.1.14.1.2

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 36 x + 36 x + 36 \cdot - 6$

Étape 2.3.1.14.1.3

Multipliez $36$ par $- 6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 36 x + 36 x - 216$

Étape 2.3.1.14.2

Additionnez $- 36 x$ et $36 x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 0 - 216$

Étape 2.3.1.14.3

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 12 x^{2} - x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 216$

Étape 2.3.2

Additionnez $12 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} = 18 x^{2} - x^{3} - 36 x - 216$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $18 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} = - x^{3} - 36 x - 216$

Étape 3.1.2

Ajoutez $x^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} + x^{3} = - 36 x - 216$

Étape 3.1.3

Ajoutez $36 x$ aux deux côtés de l’équation.

$36 x - 6 x^{2} + 3 {(- x + 6)}^{2} - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.1

Réécrivez ${(- x + 6)}^{2}$ comme $(- x + 6) (- x + 6)$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 ((- x + 6) (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.2

Développez $(- x + 6) (- x + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x + 6) + 6 (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x) - x \cdot 6 + 6 (- x + 6)) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- x (- x) - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (1 x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - x \cdot 6 + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.3.1.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x + 6 (- x) + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x - 6 x + 6 \cdot 6) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.3.1.7

Multipliez $6$ par $6$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 (x^{2} - 12 x + 36) - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 12 x) + 3 \cdot 36 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.5

Simplifiez

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Étape 3.1.4.5.1

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 3 \cdot 36 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.4.5.2

Multipliez $3$ par $36$ .

$36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.5

Associez les termes opposés dans $36 x - 6 x^{2} + 3 x^{2} - 36 x + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x$ .

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Étape 3.1.5.1

Soustrayez $36 x$ de $36 x$ .

$- 6 x^{2} + 3 x^{2} + 0 + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.5.2

Additionnez $- 6 x^{2} + 3 x^{2}$ et $0$ .

$- 6 x^{2} + 3 x^{2} + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.6

Additionnez $- 6 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 108 - 18 x^{2} + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.1.7

Soustrayez $18 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$- 21 x^{2} + 108 + x^{3} + 36 x = - 216$

Étape 3.2

Ajoutez $216$ aux deux côtés de l’équation.

$- 21 x^{2} + 108 + x^{3} + 36 x + 216 = 0$

Étape 3.3

Additionnez $108$ et $216$ .

$- 21 x^{2} + x^{3} + 36 x + 324 = 0$

Étape 3.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324 = 0$

Étape 3.4.2

Factorisez $x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.4.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

$q = \pm 1$

Étape 3.4.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

Étape 3.4.2.3

Remplacez $- 3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.4.2.3.1

Remplacez $- 3$ dans le polynôme.

${(- 3)}^{3} - 21 {(- 3)}^{2} + 36 \cdot - 3 + 324$

Étape 3.4.2.3.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 27 - 21 {(- 3)}^{2} + 36 \cdot - 3 + 324$

Étape 3.4.2.3.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 27 - 21 \cdot 9 + 36 \cdot - 3 + 324$

Étape 3.4.2.3.4

Multipliez $- 21$ par $9$ .

$- 27 - 189 + 36 \cdot - 3 + 324$

Étape 3.4.2.3.5

Soustrayez $189$ de $- 27$ .

$- 216 + 36 \cdot - 3 + 324$

Étape 3.4.2.3.6

Multipliez $36$ par $- 3$ .

$- 216 - 108 + 324$

Étape 3.4.2.3.7

Soustrayez $108$ de $- 216$ .

$- 324 + 324$

Étape 3.4.2.3.8

Additionnez $- 324$ et $324$ .

$0$

Étape 3.4.2.4

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324}{x + 3}$

Étape 3.4.2.5

Divisez $x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ par $x + 3$ .

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Étape 3.4.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$21 x^{2}$

$36 x$

$324$

Étape 3.4.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$

Étape 3.4.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 3.4.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 3.4.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Étape 3.4.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$

Étape 3.4.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 24 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$

Étape 3.4.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$72 x$

Étape 3.4.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 24 x^{2} - 72 x$

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$

Étape 3.4.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$

Étape 3.4.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$24 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$

Étape 3.4.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $108 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$

Étape 3.4.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							+	$108 x$	+	$324$

Étape 3.4.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $108 x + 324$

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							-	$108 x$	-	$324$

Étape 3.4.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$24 x$	+	$108$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$36 x$	+	$324$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$36 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$72 x$
							+	$108 x$	+	$324$
							-	$108 x$	-	$324$
										$0$

Étape 3.4.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 24 x + 108$

Étape 3.4.2.6

Écrivez $x^{3} - 21 x^{2} + 36 x + 324$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 3) (x^{2} - 24 x + 108) = 0$

Étape 3.4.3

Factorisez.

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $x^{2} - 24 x + 108$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $108$ et dont la somme est $- 24$ .

$- 18, - 6$

Étape 3.4.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 3) ((x - 18) (x - 6)) = 0$

Étape 3.4.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x - 18) (x - 6) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 18 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.7

Définissez $x - 18$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x - 18$ égal à $0$ .

$x - 18 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 18$

Étape 3.8

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.8.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 18) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = - 3, 18, 6$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{x}{x - 6} - \frac{1}{2} = \frac{x}{6} + \frac{x + 6}{6 - x}$ vrai.

$x = - 3, 18$