Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{4} + 2 \sqrt{x} + 15 = x$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $\frac{x}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{x} + 15 = x - \frac{x}{4}$

Étape 1.2

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{x} = x - \frac{x}{4} - 15$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{1} = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez

$4 x = {(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez ${(x - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$4 x = {(x \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{4}{4}$ .

$4 x = {(\frac{x \cdot 4}{4} - \frac{x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = {(\frac{x \cdot 4 - x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.3.1.4

Soustrayez $x$ de $x \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $4$ .

$4 x = {(\frac{4 \cdot x - x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.3.1.4.2

Soustrayez $x$ de $4 \cdot x$ .

$4 x = {(\frac{3 \cdot x}{4} - 15)}^{2}$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez ${(\frac{3 x}{4} - 15)}^{2}$ comme $(\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$ .

$4 x = (\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$

Étape 3.3.1.6

Développez $(\frac{3 x}{4} - 15) (\frac{3 x}{4} - 15)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x = \frac{3 x}{4} (\frac{3 x}{4} - 15) - 15 (\frac{3 x}{4} - 15)$

Étape 3.3.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x = \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 (\frac{3 x}{4} - 15)$

Étape 3.3.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x = \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.7.1.1

Multipliez $\frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{3 x}{4}$ par $\frac{3 x}{4}$ .

$4 x = \frac{3 x (3 x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 x = \frac{9 x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x = \frac{9 (x^{1} x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x = \frac{9 (x^{1} x^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x = \frac{9 x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} \cdot - 15 - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.2

Multipliez $\frac{3 x}{4} \cdot - 15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.7.1.2.1

Associez $\frac{3 x}{4}$ et $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x \cdot - 15}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.2.2

Multipliez $- 15$ par $3$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - 15 \frac{3 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.4

Multipliez $- 15 \frac{3 x}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.7.1.4.1

Associez $- 15$ et $\frac{3 x}{4}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} + \frac{- 15 (3 x)}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} + \frac{- 45 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - \frac{45 x}{4} - 15 \cdot - 15$

Étape 3.3.1.7.1.6

Multipliez $- 15$ par $- 15$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{4} - \frac{45 x}{4} + 225$

Étape 3.3.1.7.2

Soustrayez $\frac{45 x}{4}$ de $- \frac{45 x}{4}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - 2 \frac{45 x}{4} + 225$

Étape 3.3.1.8

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.8.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 (- 1) \frac{45 x}{4} + 225$

Étape 3.3.1.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{45 x}{2 \cdot 2} + 225$

Étape 3.3.1.8.1.3

Annulez le facteur commun.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{45 x}{2 \cdot 2} + 225$

Étape 3.3.1.8.1.4

Réécrivez l’expression.

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - 1 \frac{45 x}{2} + 225$

Étape 3.3.1.8.2

Réécrivez $- 1 \frac{45 x}{2}$ comme $- \frac{45 x}{2}$ .

$4 x = \frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225 = 4 x$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + 225 - 4 x = 0$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- 4 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} - 4 x \cdot \frac{2}{2} + 225 = 0$

Étape 4.2.3

Associez $- 4 x$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} - \frac{45 x}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2}{2} + 225 = 0$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2} + 225 = 0$

Étape 4.2.5

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Multipliez $\frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2} \cdot \frac{8}{8} + 225 = 0$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $\frac{- 45 x - 4 x \cdot 2}{2}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + 225 = 0$

Étape 4.2.5.3

Écrivez $225$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225}{1} = 0$

Étape 4.2.5.4

Multipliez $\frac{225}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225}{1} \cdot \frac{16}{16} = 0$

Étape 4.2.5.5

Multipliez $\frac{225}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{225 \cdot 16}{16} = 0$

Étape 4.2.5.6

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{(- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8}{16} + \frac{225 \cdot 16}{16} = 0$

Étape 4.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 x^{2} + (- 45 x - 4 x \cdot 2) \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Étape 4.2.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{9 x^{2} + (- 45 x - 8 x) \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Étape 4.2.7.2

Soustrayez $8 x$ de $- 45 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 53 x \cdot 8 + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Étape 4.2.7.3

Multipliez $8$ par $- 53$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 x + 225 \cdot 16}{16} = 0$

Étape 4.2.7.4

Multipliez $225$ par $16$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 x + 3600}{16} = 0$

Étape 4.2.8

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 3600 = 32400$ et dont la somme est $b = - 424$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.1.1

Factorisez $- 424$ à partir de $- 424 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 424 (x) + 3600}{16} = 0$

Étape 4.2.8.1.2

Réécrivez $- 424$ comme $- 100$ plus $- 324$

$\frac{9 x^{2} + (- 100 - 324) x + 3600}{16} = 0$

Étape 4.2.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{2} - 100 x - 324 x + 3600}{16} = 0$

Étape 4.2.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(9 x^{2} - 100 x) - 324 x + 3600}{16} = 0$

Étape 4.2.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (9 x - 100) - 36 (9 x - 100)}{16} = 0$

Étape 4.2.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x - 100$ .

$\frac{(9 x - 100) (x - 36)}{16} = 0$

Étape 4.3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(9 x - 100) (x - 36) = 0$

Étape 4.4

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 x - 100 = 0$

$x - 36 = 0$

Étape 4.4.2

Définissez $9 x - 100$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Définissez $9 x - 100$ égal à $0$ .

$9 x - 100 = 0$

Étape 4.4.2.2

Résolvez $9 x - 100 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.1

Ajoutez $100$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 100$

Étape 4.4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 100$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 100$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{100}{9}$

Étape 4.4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{100}{9}$

Étape 4.4.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{100}{9}$

Étape 4.4.3

Définissez $x - 36$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1

Définissez $x - 36$ égal à $0$ .

$x - 36 = 0$

Étape 4.4.3.2

Ajoutez $36$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 36$

Étape 4.4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 x - 100) (x - 36) = 0$ vraie.

$x = \frac{100}{9}, 36$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{x}{4} + 2 \sqrt{x} + 15 = x$ vrai.

$x = 36$