Calcul infinitésimal Exemples

$\sec^{2} (x) + \tan (x) - 3 = 0$

Étape 1

Remplacez le $\sec^{2} (x)$ par $1 + \tan^{2} (x)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan (x) - 3 = 0$

Étape 2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) - 2 = 0$

Étape 3

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Étape 4

Factorisez $u^{2} + u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Étape 6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 7

Définissez $u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 7.1

Définissez $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 1) (u + 2) = 0$ vraie.

$u = 1, - 2$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1, - 2$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = - 2$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = 1$ .

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Étape 11.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 11.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 11.4

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 11.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 11.4.2

Associez les fractions.

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Étape 11.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 11.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 11.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 11.4.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 2$ .

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Étape 12.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 2)$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Étape 12.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Étape 12.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 12.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 12.4.2

L’angle résultant de $2.03444393$ est positif et coterminal avec $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 12.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 12.6.1

Ajoutez $π$ à $- 1.10714871$ pour déterminer l’angle positif.

$- 1.10714871 + π$

Étape 12.6.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 1.10714871$

Étape 12.6.3

Soustrayez $1.10714871$ de $3.14159265$ .

$2.03444393$

Étape 12.6.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 2.03444393$

Étape 12.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Consolidez les solutions.

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Étape 14.1

Consolidez $\frac{π}{4} + π n$ et $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14.2

Consolidez $2.03444393 + π n$ et $2.03444393 + π n$ en $2.03444393 + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n$ , pour tout entier $n$