Calcul infinitésimal Exemples

$(\frac{1}{2 \sqrt{2 x^{2}}}) = \sqrt{2 x}$

Étape 1

Réalisez le produit en croix.

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Étape 1.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$\sqrt{2 x} \cdot (2 \sqrt{2 x^{2}}) = 1$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $\sqrt{2 x} \cdot (2 \sqrt{2 x^{2}})$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \sqrt{2 x} \sqrt{2 x^{2}} = 1$

Étape 1.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2$ et $x^{2}$ .

$2 \sqrt{2 x} \sqrt{x^{2} \cdot 2} = 1$

Étape 1.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2 x} (x \sqrt{2}) = 1$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $2 \sqrt{2 x} (x \sqrt{2})$ .

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Étape 1.2.1.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 (x \sqrt{2 x \cdot 2}) = 1$

Étape 1.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (x \sqrt{4 x}) = 1$

Étape 1.2.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 (x \sqrt{2^{2} x}) = 1$

Étape 1.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 (x (2 \sqrt{x})) = 1$

Étape 1.2.1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 (2 x \sqrt{x}) = 1$

Étape 1.2.1.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x \sqrt{x} = 1$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(4 x \sqrt{x})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(4 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(4 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(4 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.1.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(4 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

${(4 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$4^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 x^{3} = 1^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$16 x^{3} = 1$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $16 x^{3} = 1$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Divisez chaque terme dans $16 x^{3} = 1$ par $16$ .

$\frac{16 x^{3}}{16} = \frac{1}{16}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x^{3}}{16} = \frac{1}{16}$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{16}$

Étape 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{16}}$

Étape 4.3

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$ .

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Étape 4.3.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{16}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{16}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{16}}$

Étape 4.3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{16}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{8 (2)}}$

Étape 4.3.3.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}$

Étape 4.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{2 \sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 4.3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 4.3.5.2

Déplacez $\sqrt[3]{2}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 (\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2})}$

Étape 4.3.5.3

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 ({\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2})}$

Étape 4.3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 4.3.5.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 4.3.5.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 4.3.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 4.3.5.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.3.5.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.3.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 4.3.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.6.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.6.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Forme décimale :

$x = 0.39685026 \dots$