Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{4 - x}$ , $a = 0$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = 0$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Étape 3

Évaluez $f (0)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sqrt{4 - (0)}$

Étape 3.2

Simplifiez $\sqrt{4 - (0)}$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\sqrt{4 - (0)}$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\sqrt{4 + 0}$

Étape 3.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$\sqrt{4}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $0$ .

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (x) = \sqrt{4 - x}$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x}$ comme ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.7

Associez les fractions.

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Étape 4.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.7.3

Placez ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Étape 4.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.1.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.1.13

Associez les fractions.

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Étape 4.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Étape 4.1.13.2

Associez $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$- \frac{1}{2 {(4 - (0))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.1

Soustrayez $0$ de $4$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 4.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 4.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 4.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = 2 - \frac{1}{4} (x - 0)$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Soustrayez $0$ de $x$ .

$L (x) = 2 - \frac{1}{4} x$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$L (x) = 2 - \frac{x}{4}$

Étape 7