Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} = \frac{1}{2}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $1 + a e^{- k t}$ .

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + a e^{- k t}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + a e^{- k t}} (1 + a e^{- k t}) = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{1}{2} (1 + a e^{- k t})$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a e^{- k t})$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2} (a e^{- k t})$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Associez $a$ et $\frac{1}{2}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a}{2} e^{- k t}$

Étape 2.2.1.3.2

Associez $\frac{a}{2}$ et $e^{- k t}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{a e^{- k t}}{2}$

Étape 2.2.1.4

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $\frac{a e^{- k t}}{2}$ .

$1 = \frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3

Résolvez $t$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $t$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = 1 - \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{2 - 1}{2}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{a e^{- k t}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$a e^{- k t} = 1$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $a e^{- k t} = 1$ par $a$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $a e^{- k t} = 1$ par $a$ .

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a e^{- k t}}{a} = \frac{1}{a}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $e^{- k t}$ par $1$ .

$e^{- k t} = \frac{1}{a}$

Étape 3.5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- k t}) = \ln (\frac{1}{a})$

Étape 3.6

Développez le côté gauche.

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Étape 3.6.1

Développez $\ln (e^{- k t})$ en déplaçant $- k t$ hors du logarithme.

$- k t \ln (e) = \ln (\frac{1}{a})$

Étape 3.6.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- k t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{a})$

Étape 3.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- k t = \ln (\frac{1}{a})$

Étape 3.7

Divisez chaque terme dans $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ par $- k$ et simplifiez.

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Étape 3.7.1

Divisez chaque terme dans $- k t = \ln (\frac{1}{a})$ par $- k$ .

$\frac{- k t}{- k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Étape 3.7.2.2

Annulez le facteur commun de $k$ .

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Étape 3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{k t}{k} = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Étape 3.7.2.2.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{1}{a})}{- k}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{\ln (\frac{1}{a})}{k}$