Calcul infinitésimal Exemples

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$

Étape 1

Simplifiez $20480 \cdot \frac{L^{4}}{4096^{2}}$ .

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Étape 1.1

Élevez $4096$ à la puissance $2$ .

$5 L = 20480 \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $4096$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $4096$ à partir de $20480$ .

$5 L = 4096 (5) \cdot \frac{L^{4}}{16777216}$

Étape 1.2.2

Factorisez $4096$ à partir de $16777216$ .

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun.

$5 L = 4096 \cdot 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096 \cdot 4096}$

Étape 1.2.4

Réécrivez l’expression.

$5 L = 5 \cdot \frac{L^{4}}{4096}$

$5 L = \frac{5 L^{4}}{4096}$

Étape 2

Soustrayez $\frac{5 L^{4}}{4096}$ des deux côtés de l’équation.

$5 L - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $5 L$ à partir de $5 L - \frac{5 L^{4}}{4096}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $5 L$ à partir de $5 L$ .

$5 L (1) - \frac{5 L^{4}}{4096} = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $5 L$ à partir de $- \frac{5 L^{4}}{4096}$ .

$5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $5 L$ à partir de $5 L (1) + 5 L (- \frac{L^{3}}{4096})$ .

$5 L (1 - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$5 L (1^{3} - \frac{L^{3}}{4096}) = 0$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{L^{3}}{4096}$ comme ${(\frac{L}{16})}^{3}$ .

$5 L (1^{3} - {(\frac{L}{16})}^{3}) = 0$

Étape 3.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = \frac{L}{16}$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1^{2} + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Étape 3.5

Factorisez.

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Étape 3.5.1

Simplifiez

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Étape 3.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + 1 (\frac{L}{16}) + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $\frac{L}{16}$ par $1$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + {(\frac{L}{16})}^{2})) = 0$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{L}{16}$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{16^{2}})) = 0$

Étape 3.5.1.4

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$5 L ((1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256})) = 0$

Étape 3.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$L = 0$

$1 - \frac{L}{16} = 0$

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

Étape 5

Définissez $L$ égal à $0$ .

$L = 0$

Étape 6

Définissez $1 - \frac{L}{16}$ égal à $0$ et résolvez $L$ .

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Étape 6.1

Définissez $1 - \frac{L}{16}$ égal à $0$ .

$1 - \frac{L}{16} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $1 - \frac{L}{16} = 0$ pour $L$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{L}{16} = - 1$

Étape 6.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 16$ .

$- 16 (- \frac{L}{16}) = - 16 \cdot - 1$

Étape 6.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.3.1.1

Simplifiez $- 16 (- \frac{L}{16})$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{L}{16}$ dans le numérateur.

$- 16 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Étape 6.2.3.1.1.1.2

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Étape 6.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$16 \cdot - 1 \frac{- L}{16} = - 16 \cdot - 1$

Étape 6.2.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - L = - 16 \cdot - 1$

Étape 6.2.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 6.2.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 L = - 16 \cdot - 1$

Étape 6.2.3.1.1.2.2

Multipliez $L$ par $1$ .

$L = - 16 \cdot - 1$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.2.1

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$L = 16$

Étape 7

Définissez $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ égal à $0$ et résolvez $L$ .

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Étape 7.1

Définissez $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}$ égal à $0$ .

$1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256} = 0$ pour $L$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $256$ , puis simplifiez.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$256 \cdot 1 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Étape 7.2.1.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1.2.1

Multipliez $256$ par $1$ .

$256 + 256 (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Étape 7.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 7.2.1.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $256$ .

$256 + 16 (16) (\frac{L}{16}) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Étape 7.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$256 + 16 \cdot (16 (\frac{L}{16})) + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Étape 7.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Étape 7.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $256$ .

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Étape 7.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$256 + 16 L + 256 (\frac{L^{2}}{256}) = 0$

Étape 7.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$256 + 16 L + L^{2} = 0$

Étape 7.2.1.3

Déplacez $256$ .

$16 L + L^{2} + 256 = 0$

Étape 7.2.1.4

Remettez dans l’ordre $16 L$ et $L^{2}$ .

$L^{2} + 16 L + 256 = 0$

Étape 7.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 16$ et $c = 256$ dans la formule quadratique et résolvez pour $L$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4

Simplifiez

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Étape 7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

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Étape 7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $256$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.3

Soustrayez $1024$ de $256$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.4

Réécrivez $- 768$ comme $- 1 (768)$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (768)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ .

$L = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7

Réécrivez $768$ comme $16^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.4.1.7.1

Factorisez $256$ à partir de $768$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7.2

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$L = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.9

Déplacez $16$ à gauche de $i$ .

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$L = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$L = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$L = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 L (1 - \frac{L}{16}) (1 + \frac{L}{16} + \frac{L^{2}}{256}) = 0$ vraie.

$L = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$