Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - 2 x^{2} y + 3 x y^{2} = 38$

Étape 1

Soustrayez $38$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 2 x^{2} y + 3 x y^{2} - 38 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 3 x$ , $b = - 2 x^{2}$ et $c = x^{3} - 38$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 x \cdot (x^{3} - 38))}}{2 (3 x)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (3 (x \cdot (x^{3} - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.2

Laissez $u = 3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ . Remplacez toutes les occurrences de $3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ par $u$ .

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (3 x)}$

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} - 4 u}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{4} - 4 u$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{4}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4}) - 4 u}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{4}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - u)}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 (x \cdot (x^{3} - 38))$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot (x^{3} - 38))))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot x^{3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 4.1.5.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x \cdot x^{3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{1 + 3} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5.1.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{4} + x \cdot - 38)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5.1.3

Déplacez $- 38$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 (x^{4} - 38 \cdot x)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4} + 3 (- 38 x)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5.1.5

Multipliez $- 38$ par $3$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4} - 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - (3 x^{4}) - (- 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - 3 x^{4} - (- 114 x))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5.1.8

Multipliez $- 114$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (x^{4} - 3 x^{4} + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.5.2

Soustrayez $3 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (- 2 x^{4} + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.6

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{4} + 114 x$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3}) + 114 x)}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $2 x$ à partir de $114 x$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3}) + 2 x (57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x^{3}) + 2 x (57)$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.7

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{8 x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.8

Réécrivez $8 x (- x^{3} + 57)$ comme $2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))$ .

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{4 (2) x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x (- x^{3} + 57)))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.8.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 x^{2} \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 x (- x^{3} + 57))}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{2 \cdot (3 x)}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{6 x}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{2 x^{2} \pm 2 \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{6 x}$ .

$y = \frac{x^{2} \pm \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{x^{2} + \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$

$y = \frac{x^{2} - \sqrt{2 x (- x^{3} + 57)}}{3 x}$