Calcul infinitésimal Exemples

$x = \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 4}} \cdot z$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 4}} \cdot z = x$ .

$\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 4}} \cdot z = x$

Étape 2

Simplifiez $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 4}} \cdot z$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 4}}$ par $\frac{\sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4}}$ .

$\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 4}} \cdot \frac{\sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4}} \cdot z = x$

Étape 2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 4}}$ par $\frac{\sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4} \sqrt{y^{2} + 4}} \cdot z = x$

Étape 2.2.2

Élevez $\sqrt{y^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{{\sqrt{y^{2} + 4}}^{1} \sqrt{y^{2} + 4}} \cdot z = x$

Étape 2.2.3

Élevez $\sqrt{y^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{{\sqrt{y^{2} + 4}}^{1} {\sqrt{y^{2} + 4}}^{1}} \cdot z = x$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{{\sqrt{y^{2} + 4}}^{1 + 1}} \cdot z = x$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{{\sqrt{y^{2} + 4}}^{2}} \cdot z = x$

Étape 2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{y^{2} + 4}}^{2}$ comme $y^{2} + 4$ .

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Étape 2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{2} + 4}$ comme ${(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{{({(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot z = x$

Étape 2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{{(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot z = x$

Étape 2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{{(y^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \cdot z = x$

Étape 2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{{(y^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \cdot z = x$

Étape 2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{{(y^{2} + 4)}^{1}} \cdot z = x$

Étape 2.2.6.5

Simplifiez

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} \cdot z = x$

Étape 2.3

Associez $\frac{y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4}$ et $z$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4} z}{y^{2} + 4} = x$

Étape 3

Multipliez les deux côtés par $y^{2} + 4$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4} z}{y^{2} + 4} (y^{2} + 4) = x (y^{2} + 4)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 4$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4} z}{y^{2} + 4} (y^{2} + 4) = x (y^{2} + 4)$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y \sqrt{y^{2} + 4} z = x (y^{2} + 4)$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $x (y^{2} + 4)$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \sqrt{y^{2} + 4} z = x y^{2} + x \cdot 4$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y \sqrt{y^{2} + 4} z = x y^{2} + 4 x$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $y \sqrt{y^{2} + 4} z = x y^{2} + 4 x$ par $y \sqrt{y^{2} + 4}$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $y \sqrt{y^{2} + 4} z = x y^{2} + 4 x$ par $y \sqrt{y^{2} + 4}$ .

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4} z}{y \sqrt{y^{2} + 4}} = \frac{x y^{2}}{y \sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{y^{2} + 4} z}{y \sqrt{y^{2} + 4}} = \frac{x y^{2}}{y \sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{y^{2} + 4} z}{\sqrt{y^{2} + 4}} = \frac{x y^{2}}{y \sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{y^{2} + 4}$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{y^{2} + 4} z}{\sqrt{y^{2} + 4}} = \frac{x y^{2}}{y \sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{x y^{2}}{y \sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y^{2}$ .

$z = \frac{y (x y)}{y \sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y \sqrt{y^{2} + 4}$ .

$z = \frac{y (x y)}{y (\sqrt{y^{2} + 4})} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{y (x y)}{y \sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{x y}{\sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $\frac{x y}{\sqrt{y^{2} + 4}}$ par $\frac{\sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4}}$ .

$z = \frac{x y}{\sqrt{y^{2} + 4}} \cdot \frac{\sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1.3.1

Multipliez $\frac{x y}{\sqrt{y^{2} + 4}}$ par $\frac{\sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4}}$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4} \sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{y^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{{\sqrt{y^{2} + 4}}^{1} \sqrt{y^{2} + 4}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3.3

Élevez $\sqrt{y^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{{\sqrt{y^{2} + 4}}^{1} {\sqrt{y^{2} + 4}}^{1}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{{\sqrt{y^{2} + 4}}^{1 + 1}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{{\sqrt{y^{2} + 4}}^{2}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{y^{2} + 4}}^{2}$ comme $y^{2} + 4$ .

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Étape 5.3.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{2} + 4}$ comme ${(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{{({(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{{(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{{(y^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{{(y^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{{(y^{2} + 4)}^{1}} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.3.6.5

Simplifiez

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $\frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$ par $\frac{\sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4}}$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}} \cdot \frac{\sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1.5.1

Multipliez $\frac{4 x}{y \sqrt{y^{2} + 4}}$ par $\frac{\sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4}}$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y \sqrt{y^{2} + 4} \sqrt{y^{2} + 4}}$

Étape 5.3.1.5.2

Déplacez $\sqrt{y^{2} + 4}$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y (\sqrt{y^{2} + 4} \sqrt{y^{2} + 4})}$

Étape 5.3.1.5.3

Élevez $\sqrt{y^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y ({\sqrt{y^{2} + 4}}^{1} \sqrt{y^{2} + 4})}$

Étape 5.3.1.5.4

Élevez $\sqrt{y^{2} + 4}$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y ({\sqrt{y^{2} + 4}}^{1} {\sqrt{y^{2} + 4}}^{1})}$

Étape 5.3.1.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y {\sqrt{y^{2} + 4}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.1.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y {\sqrt{y^{2} + 4}}^{2}}$

Étape 5.3.1.5.7

Réécrivez ${\sqrt{y^{2} + 4}}^{2}$ comme $y^{2} + 4$ .

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Étape 5.3.1.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{2} + 4}$ comme ${(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y {({(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.1.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y {(y^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.1.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y {(y^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.1.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y {(y^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.1.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y {(y^{2} + 4)}^{1}}$

Étape 5.3.1.5.7.5

Simplifiez

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.2

Pour écrire $\frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4} \cdot \frac{y}{y} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y^{2} + 4) y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{x y \sqrt{y^{2} + 4}}{y^{2} + 4}$ par $\frac{y}{y}$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4} y}{(y^{2} + 4) y} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(y^{2} + 4) y$ .

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4} y}{y (y^{2} + 4)} + \frac{4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z = \frac{x y \sqrt{y^{2} + 4} y + 4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $x \sqrt{y^{2} + 4}$ à partir de $x y \sqrt{y^{2} + 4} y + 4 x \sqrt{y^{2} + 4}$ .

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Étape 5.3.5.1.1

Factorisez $x \sqrt{y^{2} + 4}$ à partir de $x y \sqrt{y^{2} + 4} y$ .

$z = \frac{x \sqrt{y^{2} + 4} (y \cdot y) + 4 x \sqrt{y^{2} + 4}}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.5.1.2

Factorisez $x \sqrt{y^{2} + 4}$ à partir de $4 x \sqrt{y^{2} + 4}$ .

$z = \frac{x \sqrt{y^{2} + 4} (y \cdot y) + x \sqrt{y^{2} + 4} (4)}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.5.1.3

Factorisez $x \sqrt{y^{2} + 4}$ à partir de $x \sqrt{y^{2} + 4} (y \cdot y) + x \sqrt{y^{2} + 4} (4)$ .

$z = \frac{x \sqrt{y^{2} + 4} (y \cdot y + 4)}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.5.2

Associez les exposants.

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Étape 5.3.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{x \sqrt{y^{2} + 4} (y^{1} y + 4)}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.5.2.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{x \sqrt{y^{2} + 4} (y^{1} y^{1} + 4)}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \frac{x \sqrt{y^{2} + 4} (y^{1 + 1} + 4)}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \frac{x \sqrt{y^{2} + 4} (y^{2} + 4)}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 4$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{x \sqrt{y^{2} + 4} (y^{2} + 4)}{y (y^{2} + 4)}$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{x \sqrt{y^{2} + 4}}{y}$