Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{8} (z - 6) + \log_{8} (z + 15) = 2$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} ((z - 6) (z + 15)) = 2$

Étape 3

Développez $(z - 6) (z + 15)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{8} (z (z + 15) - 6 (z + 15)) = 2$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 (z + 15)) = 2$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{8} (z \cdot z + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $z$ par $z$ .

$\log_{8} (z^{2} + z \cdot 15 - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Étape 4.1.2

Déplacez $15$ à gauche de $z$ .

$\log_{8} (z^{2} + 15 \cdot z - 6 z - 6 \cdot 15) = 2$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 6$ par $15$ .

$\log_{8} (z^{2} + 15 z - 6 z - 90) = 2$

Étape 4.2

Soustrayez $6 z$ de $15 z$ .

$\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$

Étape 5

Réécrivez $\log_{8} (z^{2} + 9 z - 90) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$8^{2} = z^{2} + 9 z - 90$

Étape 6

Résolvez $z$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$ .

$z^{2} + 9 z - 90 = 8^{2}$

Étape 6.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$z^{2} + 9 z - 90 = 64$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$z^{2} + 9 z - 90 - 64 = 0$

Étape 6.3.2

Soustrayez $64$ de $- 90$ .

$z^{2} + 9 z - 154 = 0$

Étape 6.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 9$ et $c = - 154$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 154)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 154$ .

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Étape 6.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 154}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 154$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 616}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.3

Additionnez $81$ et $616$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$z = \frac{- 9 \pm \sqrt{697}}{2}$

Étape 6.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{697}}{2}$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{8} (z - 6) = 2 - \log_{8} (z + 15)$ vrai.

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$z = - \frac{9 - \sqrt{697}}{2}$

Forme décimale :

$z = 8.70037878 \dots$