Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) \cos (2 x) = 0$

Étape 1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.1.5

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.5.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 2.1.1.5.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 2.1.1.5.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 2.1.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 2.1.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 2.1.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $2 \sin (x) \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$0 + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $0$ et $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

Étape 3.2

Définissez $\sin^{3} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez $\sin^{3} (x)$ égal à $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Étape 3.2.2

Résolvez $\sin^{3} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\sin (x) = 0$

Étape 3.2.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.2.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 3.2.2.6

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.2.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.3

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.3.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.3.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.3.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.3.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$