Calcul infinitésimal Exemples

$2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $2 x + \frac{250}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{250}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} + 250 = 0 x^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 250 = 0$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $250$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} = - 250$

Étape 3.2

Ajoutez $250$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} + 250 = 0$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 250$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) + 250 = 0$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $250$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot 125 = 0$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot 125$ .

$2 (x^{3} + 125) = 0$

Étape 3.3.2

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$2 (x^{3} + 5^{3}) = 0$

Étape 3.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$2 ((x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

Étape 3.3.4

Factorisez.

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez

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Étape 3.3.4.1.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$2 ((x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2})) = 0$

Étape 3.3.4.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$2 ((x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)) = 0$

Étape 3.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 5 = 0$

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 3.6

Définissez $x^{2} - 5 x + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x^{2} - 5 x + 25$ égal à $0$ .

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $x^{2} - 5 x + 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 5$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez

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Étape 3.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.3.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Étape 3.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.3

Soustrayez $100$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.6.2.3.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$ vraie.

$x = - 5, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$