Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 6 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $y = x^{4} - 6 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 (2 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$4 x^{3} - 12 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 12 x = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (2 x)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 12 x$ .

$4 x^{3} - 12 x$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 12 x = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 12 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 12 x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 12 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 6.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 6.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 6.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2} - 12$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 - 12$

Étape 10.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 - 12$

Étape 10.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$- 12$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2}$

Étape 12.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 12.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(\sqrt{3})}^{2} - 12$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 14.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 12$

Étape 14.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 12$

Étape 14.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 12$

Étape 14.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 12$

Étape 14.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$12 \cdot 3^{1} - 12$

Étape 14.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$12 \cdot 3 - 12$

Étape 14.1.2

Multipliez $12$ par $3$ .

$36 - 12$

Étape 14.2

Soustrayez $12$ de $36$ .

$24$

Étape 15

$x = \sqrt{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{3}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{3}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{3}) = {(\sqrt{3})}^{4} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 16.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{4}{2}} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 16.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = 3^{\frac{2}{1}} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 3^{2} - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 16.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 16.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 16.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 16.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 16.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3$

Étape 16.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 - 18$

Étape 16.2.2

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (\sqrt{3}) = - 9$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 9$ .

$y = - 9$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- \sqrt{3})}^{2} - 12$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) - 12$

Étape 18.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$12 (1 {\sqrt{3}}^{2}) - 12$

Étape 18.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$12 {\sqrt{3}}^{2} - 12$

Étape 18.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 18.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 12$

Étape 18.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 12$

Étape 18.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 12$

Étape 18.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$12 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 12$

Étape 18.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$12 \cdot 3^{1} - 12$

Étape 18.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$12 \cdot 3 - 12$

Étape 18.1.5

Multipliez $12$ par $3$ .

$36 - 12$

Étape 18.2

Soustrayez $12$ de $36$ .

$24$

Étape 19

$x = - \sqrt{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{3}$ est un minimum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{3}$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = {(- \sqrt{3})}^{4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 1 {\sqrt{3}}^{4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = {\sqrt{3}}^{4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 20.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{4}{2}} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 20.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = 3^{\frac{2}{1}} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 3^{2} - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 20.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 20.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 20.2.1.8

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 20.2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 20.2.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 20.2.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 20.2.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 20.2.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 20.2.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3$

Étape 20.2.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 6 \cdot 3$

Étape 20.2.1.10

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = 9 - 18$

Étape 20.2.2

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9$

Étape 20.2.3

La réponse finale est $- 9$ .

$y = - 9$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un maximum local

$(\sqrt{3}, - 9)$ est un minimum local

$(- \sqrt{3}, - 9)$ est un minimum local

Étape 22