Calcul infinitésimal Exemples

$- 48 x^{- 3} + 6 = 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 48 \frac{1}{x^{3}} + 6 = 0$

Étape 1.2

Associez $- 48$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 48}{x^{3}} + 6 = 0$

Étape 1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{48}{x^{3}} + 6 = 0$

Étape 2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{48}{x^{3}} = - 6$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{48}{x^{3}} = - 6$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{48}{x^{3}} = - 6$ par $x^{3}$ .

$- \frac{48}{x^{3}} x^{3} = - 6 x^{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{48}{x^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 48}{x^{3}} x^{3} = - 6 x^{3}$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 48}{x^{3}} x^{3} = - 6 x^{3}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 48 = - 6 x^{3}$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- 6 x^{3} = - 48$ .

$- 6 x^{3} = - 48$

Étape 5.2

Ajoutez $48$ aux deux côtés de l’équation.

$- 6 x^{3} + 48 = 0$

Étape 5.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x^{3} + 48$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x^{3}$ .

$- 6 x^{3} + 48 = 0$

Étape 5.3.1.2

Factorisez $- 6$ à partir de $48$ .

$- 6 x^{3} - 6 \cdot - 8 = 0$

Étape 5.3.1.3

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 (x^{3}) - 6 (- 8)$ .

$- 6 (x^{3} - 8) = 0$

Étape 5.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- 6 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Étape 5.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 6 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 5.3.4

Factorisez.

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Étape 5.3.4.1

Simplifiez

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Étape 5.3.4.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- 6 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Étape 5.3.4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 6 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Étape 5.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 6 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Étape 5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.6

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3

Simplifiez

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Étape 5.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 5.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.6.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 5.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 6 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$