Calcul infinitésimal Exemples

- 48 x^{- 3} + 6 = 0

$- 48 x^{- 3} + 6 = 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

- 48 \frac{1}{x^{3}} + 6 = 0

$- 48 \frac{1}{x^{3}} + 6 = 0$

Étape 1.2

Associez

- 48

$- 48$ et

\frac{1}{x^{3}}

$\frac{1}{x^{3}}$ .

\frac{- 48}{x^{3}} + 6 = 0

$\frac{- 48}{x^{3}} + 6 = 0$

Étape 1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{48}{x^{3}} + 6 = 0

$- \frac{48}{x^{3}} + 6 = 0$

- \frac{48}{x^{3}} + 6 = 0

$- \frac{48}{x^{3}} + 6 = 0$

Étape 2

Soustrayez

6

$6$ des deux côtés de l’équation.

- \frac{48}{x^{3}} = - 6

$- \frac{48}{x^{3}} = - 6$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

x^{3}, 1

$x^{3}, 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

x^{3}

$x^{3}$

x^{3}

$x^{3}$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans

- \frac{48}{x^{3}} = - 6

$- \frac{48}{x^{3}} = - 6$ par

x^{3}

$x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans

- \frac{48}{x^{3}} = - 6

$- \frac{48}{x^{3}} = - 6$ par

x^{3}

$x^{3}$ .

- \frac{48}{x^{3}} x^{3} = - 6 x^{3}

$- \frac{48}{x^{3}} x^{3} = - 6 x^{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de

x^{3}

$x^{3}$ .

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Étape 4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans

- \frac{48}{x^{3}}

$- \frac{48}{x^{3}}$ dans le numérateur.

\frac{- 48}{x^{3}} x^{3} = - 6 x^{3}

$\frac{- 48}{x^{3}} x^{3} = - 6 x^{3}$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

\frac{- 48}{x^{3}} x^{3} = - 6 x^{3}

$\frac{- 48}{x^{3}} x^{3} = - 6 x^{3}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

- 48 = - 6 x^{3}

$- 48 = - 6 x^{3}$

- 48 = - 6 x^{3}

$- 48 = - 6 x^{3}$

- 48 = - 6 x^{3}

$- 48 = - 6 x^{3}$

- 48 = - 6 x^{3}

$- 48 = - 6 x^{3}$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme

- 6 x^{3} = - 48

$- 6 x^{3} = - 48$ .

- 6 x^{3} = - 48

$- 6 x^{3} = - 48$

Étape 5.2

Ajoutez

48

$48$ aux deux côtés de l’équation.

- 6 x^{3} + 48 = 0

$- 6 x^{3} + 48 = 0$

Étape 5.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1

Factorisez

- 6

$- 6$ à partir de

- 6 x^{3} + 48

$- 6 x^{3} + 48$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez

- 6

$- 6$ à partir de

- 6 x^{3}

$- 6 x^{3}$ .

- 6 x^{3} + 48 = 0

$- 6 x^{3} + 48 = 0$

Étape 5.3.1.2

Factorisez

- 6

$- 6$ à partir de

48

$48$ .

- 6 x^{3} - 6 \cdot - 8 = 0

$- 6 x^{3} - 6 \cdot - 8 = 0$

Étape 5.3.1.3

Factorisez

- 6

$- 6$ à partir de

- 6 (x^{3}) - 6 (- 8)

$- 6 (x^{3}) - 6 (- 8)$ .

- 6 (x^{3} - 8) = 0

$- 6 (x^{3} - 8) = 0$

- 6 (x^{3} - 8) = 0

$- 6 (x^{3} - 8) = 0$

Étape 5.3.2

Réécrivez

8

$8$ comme

2^{3}

$2^{3}$ .

- 6 (x^{3} - 2^{3}) = 0

$- 6 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Étape 5.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où

a = x

$a = x$ et

b = 2

$b = 2$ .

- 6 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0

$- 6 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 5.3.4

Factorisez.

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Étape 5.3.4.1

Simplifiez

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Étape 5.3.4.1.1

Déplacez

2

$2$ à gauche de

x

$x$ .

- 6 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0

$- 6 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Étape 5.3.4.1.2

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

- 6 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0

$- 6 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

- 6 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0

$- 6 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Étape 5.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

- 6 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0

$- 6 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

- 6 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0

$- 6 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

- 6 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0

$- 6 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Étape 5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x^{2} + 2 x + 4 = 0

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 5.5

Définissez

x - 2

$x - 2$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez

x - 2

$x - 2$ égal à

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez

2

$2$ aux deux côtés de l’équation.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Étape 5.6

Définissez

x^{2} + 2 x + 4

$x^{2} + 2 x + 4$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez

x^{2} + 2 x + 4

$x^{2} + 2 x + 4$ égal à

0

$0$ .

x^{2} + 2 x + 4 = 0

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez

x^{2} + 2 x + 4 = 0

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 5.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.6.2.2

Remplacez les valeurs

a = 1

$a = 1$ ,

b = 2

$b = 2$ et

c = 4

$c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour

x

$x$ .

\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3

Simplifiez

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Étape 5.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.2.3.1.1

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.2

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot 4

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 5.6.2.3.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.2.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

4

$4$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.3

Soustrayez

16

$16$ de

4

$4$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.4

Réécrivez

- 12

$- 12$ comme

- 1 (12)

$- 1 (12)$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.5

Réécrivez

\sqrt{- 1 (12)}

$\sqrt{- 1 (12)}$ comme

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.6

Réécrivez

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ comme

i

$i$ .

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.7

Réécrivez

12

$12$ comme

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.6.2.3.1.7.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

12

$12$ .

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.7.2

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.1.9

Déplacez

2

$2$ à gauche de

i

$i$ .

x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.6.2.3.3

Simplifiez

\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

x = - 1 \pm i \sqrt{3}

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

x = - 1 \pm i \sqrt{3}

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 5.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

- 6 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0

$- 6 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vraie.

x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$