Calcul infinitésimal Exemples

$0 = \cos (x + \frac{π}{4})$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$

Étape 2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x + \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 π \cdot 2 - π}{4}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 π - π}{4}$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 7

Déterminez la période de $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8

La période de la fonction $\cos (x + \frac{π}{4})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$