Calcul infinitésimal Exemples

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $10 {(1 + e^{- x})}^{- 1} = 3$ par $10$ .

$\frac{10 {(1 + e^{- x})}^{- 1}}{10} = \frac{3}{10}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Placez ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10}{10 (1 + e^{- x})} = \frac{3}{10}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{3}{10}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $1 + e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + e^{- x}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + e^{- x}} (1 + e^{- x}) = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{3}{10} (1 + e^{- x})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\frac{3}{10} (1 + e^{- x})$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = \frac{3}{10} \cdot 1 + \frac{3}{10} e^{- x}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $\frac{3}{10}$ par $1$ .

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} e^{- x}$

Étape 3.2.1.3

Associez $\frac{3}{10}$ et $e^{- x}$ .

$1 = \frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$ .

$\frac{3}{10} + \frac{3 e^{- x}}{10} = 1$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $\frac{3}{10}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = 1 - \frac{3}{10}$

Étape 4.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{10 - 3}{10}$

Étape 4.2.4

Soustrayez $3$ de $10$ .

$\frac{3 e^{- x}}{10} = \frac{7}{10}$

Étape 4.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$3 e^{- x} = 7$

Étape 4.4

Divisez chaque terme dans $3 e^{- x} = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.4.1

Divisez chaque terme dans $3 e^{- x} = 7$ par $3$ .

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 e^{- x}}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 4.4.2.1.2

Divisez $e^{- x}$ par $1$ .

$e^{- x} = \frac{7}{3}$

Étape 4.5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (\frac{7}{3})$

Étape 4.6

Développez le côté gauche.

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Étape 4.6.1

Développez $\ln (e^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$- x \ln (e) = \ln (\frac{7}{3})$

Étape 4.6.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (\frac{7}{3})$

Étape 4.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- x = \ln (\frac{7}{3})$

Étape 4.7

Divisez chaque terme dans $- x = \ln (\frac{7}{3})$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.7.1

Divisez chaque terme dans $- x = \ln (\frac{7}{3})$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Étape 4.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Étape 4.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$

Étape 4.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (\frac{7}{3})}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$

Étape 4.7.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (\frac{7}{3})$ comme $- \ln (\frac{7}{3})$ .

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \ln (\frac{7}{3})$

Forme décimale :

$x = - 0.84729786 \dots$