Calcul infinitésimal Exemples

$10 ({1.06}^{x}) = 12 ({1.14}^{x})$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (10 \cdot {1.06}^{x}) = \ln (12 \cdot {1.14}^{x})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (10 \cdot {1.06}^{x})$ comme $\ln (10) + \ln ({1.06}^{x})$ .

$\ln (10) + \ln ({1.06}^{x}) = \ln (12 \cdot {1.14}^{x})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({1.06}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (10) + x \ln (1.06) = \ln (12 \cdot {1.14}^{x})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (12 \cdot {1.14}^{x})$ comme $\ln (12) + \ln ({1.14}^{x})$ .

$\ln (10) + x \ln (1.06) = \ln (12) + \ln ({1.14}^{x})$

Étape 3.2

Développez $\ln ({1.14}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (10) + x \ln (1.06) = \ln (12) + x \ln (1.14)$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $\ln (10)$ et $x \ln (1.06)$ .

$x \ln (1.06) + \ln (10) = \ln (12) + x \ln (1.14)$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $\ln (12)$ et $x \ln (1.14)$ .

$x \ln (1.06) + \ln (10) = x \ln (1.14) + \ln (12)$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (1.06) + \ln (10) - x \ln (1.14) - \ln (12) = 0$

Étape 7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{10}{12}) = 0$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $10$ et $12$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{2 (5)}{12}) = 0$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}) = 0$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6}) = 0$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) + \ln (\frac{5}{6}) = 0$

Étape 9

Soustrayez $\ln (\frac{5}{6})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (1.06) - x \ln (1.14) = - \ln (\frac{5}{6})$

Étape 10

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (1.06) - x \ln (1.14)$ .

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Étape 10.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (1.06)$ .

$x (\ln (1.06)) - x \ln (1.14) = - \ln (\frac{5}{6})$

Étape 10.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (1.14)$ .

$x (\ln (1.06)) + x (- 1 \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Étape 10.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (1.06)) + x (- 1 \ln (1.14))$ .

$x (\ln (1.06) - 1 \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Étape 11

Réécrivez $- 1 \ln (1.14)$ comme $- \ln (1.14)$ .

$x (\ln (1.06) - \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$

Étape 12

Divisez chaque terme dans $x (\ln (1.06) - \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$ par $\ln (1.06) - \ln (1.14)$ et simplifiez.

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Étape 12.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (1.06) - \ln (1.14)) = - \ln (\frac{5}{6})$ par $\ln (1.06) - \ln (1.14)$ .

$\frac{x (\ln (1.06) - \ln (1.14))}{\ln (1.06) - \ln (1.14)} = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Étape 12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1.06) - \ln (1.14)$ .

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Étape 12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (1.06) - \ln (1.14))}{\ln (1.06) - \ln (1.14)} = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Étape 12.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Étape 12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{6})}{\ln (1.06) - \ln (1.14)}$

Forme décimale :

$x = - 2.50581603 \dots$