Calcul infinitésimal Exemples

$12288 \sqrt{x} = 192 x^{2}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(12288 \sqrt{x})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(12288 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(12288 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $12288 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12288^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $12288$ à la puissance $2$ .

$150994944 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$150994944 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Étape 2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$150994944 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(192 x^{2})}^{2}$

Étape 2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$150994944 x^{1} = {(192 x^{2})}^{2}$

Étape 2.2.1.4

Simplifiez

$150994944 x = {(192 x^{2})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(192 x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $192 x^{2}$ .

$150994944 x = 192^{2} {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Élevez $192$ à la puissance $2$ .

$150994944 x = 36864 {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$150994944 x = 36864 x^{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$150994944 x = 36864 x^{4}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $36864 x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$150994944 x - 36864 x^{4} = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $36864 x$ à partir de $150994944 x - 36864 x^{4}$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $36864 x$ à partir de $150994944 x$ .

$36864 x (4096) - 36864 x^{4} = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $36864 x$ à partir de $- 36864 x^{4}$ .

$36864 x (4096) + 36864 x (- x^{3}) = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $36864 x$ à partir de $36864 x (4096) + 36864 x (- x^{3})$ .

$36864 x (4096 - x^{3}) = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $4096$ comme $16^{3}$ .

$36864 x (16^{3} - x^{3}) = 0$

Étape 3.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 16$ et $b = x$ .

$36864 x ((16 - x) (16^{2} + 16 x + x^{2})) = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez.

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Étape 3.2.4.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$36864 x ((16 - x) (256 + 16 x + x^{2})) = 0$

Étape 3.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$36864 x (16 - x) (256 + 16 x + x^{2}) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$16 - x = 0$

$256 + 16 x + x^{2} = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $16 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $16 - x$ égal à $0$ .

$16 - x = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $16 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 16$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x = 16$

Étape 3.6

Définissez $256 + 16 x + x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $256 + 16 x + x^{2}$ égal à $0$ .

$256 + 16 x + x^{2} = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $256 + 16 x + x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 16$ et $c = 256$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 256)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez

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Étape 3.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.3.1.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 256$ .

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Étape 3.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1024}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.3

Soustrayez $1024$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 768}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 768$ comme $- 1 (768)$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 768}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (768)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{768}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.7

Réécrivez $768$ comme $16^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.6.2.3.1.7.1

Factorisez $256$ à partir de $768$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{256 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{16^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot (16 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.9

Déplacez $16$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 16 \pm 16 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 8 \pm 8 i \sqrt{3}$

Étape 3.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $36864 x (16 - x) (256 + 16 x + x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, 16, - 8 + 8 i \sqrt{3}, - 8 - 8 i \sqrt{3}$