Calcul infinitésimal Exemples

2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez

2 \ln (2 x) + \ln (16 x)

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez

2 \ln (2 x)

$2 \ln (2 x)$ en déplaçant

2

$2$ dans le logarithme.

\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à

2 x

$2 x$ .

\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Étape 2.1.1.3

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes,

\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez

x^{2}

$x^{2}$ par

x

$x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.1

Déplacez

x

$x$ .

\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

Étape 2.1.4.2

Multipliez

x

$x$ par

x^{2}

$x^{2}$ .

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Étape 2.1.4.2.1

Élevez

x

$x$ à la puissance

1

$1$ .

\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

Étape 2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

Étape 2.1.4.3

Additionnez

1

$1$ et

2

$2$ .

\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez

4

$4$ par

16

$16$ .

\ln (64 x^{3}) = 0

$\ln (64 x^{3}) = 0$

\ln (64 x^{3}) = 0

$\ln (64 x^{3}) = 0$

\ln (64 x^{3}) = 0

$\ln (64 x^{3}) = 0$

Étape 3

Pour résoudre

x

$x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

Étape 4

Réécrivez

\ln (64 x^{3}) = 0

$\ln (64 x^{3}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si

x

$x$ et

b

$b$ sont des nombres réels positifs et

b \neq 1

$b \neq 1$ , alors

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ est équivalent à

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{0} = 64 x^{3}

$e^{0} = 64 x^{3}$

Étape 5

Résolvez

x

$x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme

64 x^{3} = e^{0}

$64 x^{3} = e^{0}$ .

64 x^{3} = e^{0}

$64 x^{3} = e^{0}$

Étape 5.2

Soustrayez

e^{0}

$e^{0}$ des deux côtés de l’équation.

64 x^{3} - e^{0} = 0

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance

0

$0$ est

1

$1$ .

64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 5.3.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

64 x^{3} - 1 = 0

$64 x^{3} - 1 = 0$

64 x^{3} - 1 = 0

$64 x^{3} - 1 = 0$

Étape 5.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.1

Réécrivez

64 x^{3}

$64 x^{3}$ comme

{(4 x)}^{3}

${(4 x)}^{3}$ .

{(4 x)}^{3} - 1 = 0

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

Étape 5.4.2

Réécrivez

1

$1$ comme

1^{3}

$1^{3}$ .

{(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 5.4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où

a = 4 x

$a = 4 x$ et

b = 1

$b = 1$ .

(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.4.4

Simplifiez

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Étape 5.4.4.1

Appliquez la règle de produit à

4 x

$4 x$ .

(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.4.4.2

Élevez

4

$4$ à la puissance

2

$2$ .

(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.4.4.3

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Étape 5.4.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Étape 5.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

4 x - 1 = 0

$4 x - 1 = 0$

16 x^{2} + 4 x + 1 = 0

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 5.6

Définissez

4 x - 1

$4 x - 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez

4 x - 1

$4 x - 1$ égal à

0

$0$ .

4 x - 1 = 0

$4 x - 1 = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez

4 x - 1 = 0

$4 x - 1 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 5.6.2.1

Ajoutez

1

$1$ aux deux côtés de l’équation.

4 x = 1

$4 x = 1$

Étape 5.6.2.2

Divisez chaque terme dans

4 x = 1

$4 x = 1$ par

4

$4$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans

4 x = 1

$4 x = 1$ par

4

$4$ .

\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

4

$4$ .

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Étape 5.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.6.2.2.2.1.2

Divisez

x

$x$ par

1

$1$ .

x = \frac{1}{4}

$x = \frac{1}{4}$

x = \frac{1}{4}

$x = \frac{1}{4}$

x = \frac{1}{4}

$x = \frac{1}{4}$

x = \frac{1}{4}

$x = \frac{1}{4}$

x = \frac{1}{4}

$x = \frac{1}{4}$

x = \frac{1}{4}

$x = \frac{1}{4}$

Étape 5.7

Définissez

16 x^{2} + 4 x + 1

$16 x^{2} + 4 x + 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez

16 x^{2} + 4 x + 1

$16 x^{2} + 4 x + 1$ égal à

0

$0$ .

16 x^{2} + 4 x + 1 = 0

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 5.7.2

Résolvez

16 x^{2} + 4 x + 1 = 0

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 5.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.7.2.2

Remplacez les valeurs

a = 16

$a = 16$ ,

b = 4

$b = 4$ et

c = 1

$c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour

x

$x$ .

\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3

Simplifiez

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Étape 5.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.2.3.1.1

Élevez

4

$4$ à la puissance

2

$2$ .

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.2

Multipliez

- 4 \cdot 16 \cdot 1

$- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 5.7.2.3.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

16

$16$ .

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.2.2

Multipliez

- 64

$- 64$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.3

Soustrayez

64

$64$ de

16

$16$ .

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.4

Réécrivez

- 48

$- 48$ comme

- 1 (48)

$- 1 (48)$ .

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.5

Réécrivez

\sqrt{- 1 (48)}

$\sqrt{- 1 (48)}$ comme

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.6

Réécrivez

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ comme

i

$i$ .

x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.7

Réécrivez

48

$48$ comme

4^{2} \cdot 3

$4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.7.2.3.1.7.1

Factorisez

16

$16$ à partir de

48

$48$ .

x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.7.2

Réécrivez

16

$16$ comme

4^{2}

$4^{2}$ .

x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.9

Déplacez

4

$4$ à gauche de

i

$i$ .

x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.2

Multipliez

2

$2$ par

16

$16$ .

x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 5.7.2.3.3

Simplifiez

\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ vraie.

x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$