Calcul infinitésimal Exemples

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (2 x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Étape 2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

Étape 2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

Étape 2.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $4$ par $16$ .

$\ln (64 x^{3}) = 0$

Étape 3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

Étape 4

Réécrivez $\ln (64 x^{3}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 64 x^{3}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $64 x^{3} = e^{0}$ .

$64 x^{3} = e^{0}$

Étape 5.2

Soustrayez $e^{0}$ des deux côtés de l’équation.

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 5.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$64 x^{3} - 1 = 0$

Étape 5.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $64 x^{3}$ comme ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

Étape 5.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 5.4.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 4 x$ et $b = 1$ .

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.4.4

Simplifiez

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Étape 5.4.4.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.4.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.4.4.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Étape 5.4.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Étape 5.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 5.6

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez $4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 5.6.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 5.7

Définissez $16 x^{2} + 4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $16 x^{2} + 4 x + 1$ égal à $0$ .

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 5.7.2

Résolvez $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3

Simplifiez

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Étape 5.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 5.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.7.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 5.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 5.7.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 5.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$