Calcul infinitésimal Exemples

$2 \cos (3 x) + 1 = \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\cos (2 x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) = 2 \cos (x)$

Étape 1.2

Soustrayez $2 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Utilisez l’identité d’angle triple pour transformer $\cos (3 x)$ en $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.1.5

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.1.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $2 \cos (x)$ de $- 6 \cos (x)$ .

$8 \cos^{3} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 8 \cos (x) = 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \cos^{3} (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - 8 \cos (x) = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \cos (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Étape 3.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Étape 3.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x))$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)) = 0$

Étape 3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (\cos^{2} (x) (4 \cos (x) - 1) - (4 \cos (x) - 1)) = 0$

Étape 3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 \cos (x) - 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Étape 3.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Étape 3.6

Factorisez.

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Étape 3.6.1

Factorisez.

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Étape 3.6.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Étape 3.6.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Étape 3.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $4 \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $4 \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $4 \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \cos (x) = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 \cos (x) = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \cos (x) = 1$ par $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.1

Évaluez $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Étape 5.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Étape 5.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.6.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Étape 5.2.6.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

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Étape 5.2.6.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Étape 5.2.6.2.2

Soustrayez $1.31811607$ de $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = - 1$

Étape 6.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 6.2.4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 6.2.5

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 6.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 6.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 7.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7.2.4

$x = 2 π - 0$

Étape 7.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 7.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 7.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

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Étape 9.1

Consolidez $π + 2 π n$ et $2 π n$ en $π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Consolidez $π n$ et $2 π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n$ , pour tout entier $n$