Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (2 x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (2 x)$ par $u$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{2} - u$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) (2 \sin (2 x) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $\sin (2 x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sin (2 x)$ égal à $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sin (2 x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 3.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3.2.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 3.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 3.2.5.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 3.2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.7

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $2 \sin (2 x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $2 \sin (2 x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 \sin (2 x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (2 x) = 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (2 x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (2 x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Étape 4.2.5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.2.5.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.2.5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 4.2.5.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 4.2.6

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 4.2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.7.1

Simplifiez

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Étape 4.2.7.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.2.7.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.2.7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 4.2.7.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 4.2.7.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 4.2.7.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 4.2.7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 4.2.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 4.2.7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 4.2.7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.2.7.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.2.7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 4.2.7.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 4.2.8

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 4.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 4.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 4.2.8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.9

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (2 x) (2 \sin (2 x) - 1) = 0$ vraie.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez $π n$ et $\frac{π}{2} + π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$