Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Étape 1.2

Développez $(x - 2) (2 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)) = 2 \ln (x)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3.1.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 3 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = 2 \ln (x)$

Étape 2

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 6) = \ln (x^{2})$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$2 x^{2} - 7 x + 6 = x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} = 0$

Étape 4.1.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} - 7 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 6, - 1$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x - 1) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 6, 1$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x - 2) + \ln (2 x - 3) = 2 \ln (x)$ vrai.

$x = 6$