Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x - 3) + \ln (2 x - 1) = \ln (3)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (2 x - 1)) = \ln (3)$

Étape 1.2

Développez $(x - 3) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = \ln (3)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x - 1)) = \ln (3)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Étape 1.3.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 1 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 6 x - 3 \cdot - 1) = \ln (3)$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\ln (2 x^{2} - x - 6 x + 3) = \ln (3)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- x$ .

$\ln (2 x^{2} - 7 x + 3) = \ln (3)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$2 x^{2} - 7 x + 3 = 3$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 7 x + 3 - 3 = 0$

Étape 3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 7 x + 3 - 3$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$2 x^{2} - 7 x + 0 = 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $2 x^{2} - 7 x$ et $0$ .

$2 x^{2} - 7 x = 0$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2} - 7 x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$x (2 x) - 7 x = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 7 x$ .

$x (2 x) + x \cdot - 7 = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x) + x \cdot - 7$ .

$x (2 x - 7) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x - 7 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.6

Définissez $2 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $2 x - 7$ égal à $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $2 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 7$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 7$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 x - 7) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{7}{2}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x - 3) + \ln (2 x - 1) = \ln (3)$ vrai.

$x = \frac{7}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{7}{2}$

Forme décimale :

$x = 3.5$

Forme de nombre mixte :

$x = 3 \frac{1}{2}$