Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x) - \ln (x - 1) = \ln (4 x - 6)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = \ln (4 x - 6)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 1, 1, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$x - 1, 1, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x - 1$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$ par $x - 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x}{x - 1} = 4 x - 6$ par $x - 1$ .

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 4 x (x - 1) - 6 (x - 1)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$x = 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Étape 3.2.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x = 4 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 6 (x - 1)$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 (x - 1)$

Étape 3.2.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 x - 6 \cdot - 1$

Étape 3.2.3.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$x = 4 x^{2} - 4 x - 6 x + 6$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 4 x$ .

$x = 4 x^{2} - 10 x + 6$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} - 10 x + 6 = x$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 10 x + 6 - x = 0$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $x$ de $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 6 = 24$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$4 x^{2} - 11 x + 6 = 0$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $- 3$ plus $- 8$

$4 x^{2} + (- 3 - 8) x + 6 = 0$

Étape 3.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 3 x - 8 x + 6 = 0$

Étape 3.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 x^{2} - 3 x) - 8 x + 6 = 0$

Étape 3.3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (4 x - 3) - 2 (4 x - 3) = 0$

Étape 3.3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x - 2) = 0$

Étape 3.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3.3.5

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.5.1

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Étape 3.3.5.2

Résolvez $4 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 3$

Étape 3.3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 3.3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 3.3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Étape 3.3.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.3.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x - 3) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{3}{4}, 2$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x) - \ln (x - 1) = \ln (4 x - 6)$ vrai.

$x = 2$