Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x) = \frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x) = \frac{1}{3} \ln (16) + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (16)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

Étape 1.1.3

Multipliez $\frac{1}{3} (2 \ln (2))$ .

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Étape 1.1.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2}{3} \ln (2)$

Étape 1.1.3.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $\ln (2)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ par $3$ .

$\ln (x) \cdot 3 = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (x)$ .

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Étape 2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

Étape 2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (x) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $3 \ln (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $\ln (16) + 2 \ln (2)$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (2^{2})$

Étape 4.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (4)$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16 \cdot 4)$

Étape 4.1.3

Multipliez $16$ par $4$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (64)$

Étape 5

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{3} = 64$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 64 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Étape 6.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Étape 6.2.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6.5

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez

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Étape 6.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 6.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.5.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 6.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ vraie.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$