Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (5 x - 6) + \ln (6 x) = 2 \ln (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((5 x - 6) (6 x)) = 2 \ln (x)$

Étape 1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (5 x (6 x) - 6 (6 x)) = 2 \ln (x)$

Étape 1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (5 \cdot (6 x \cdot x) - 6 (6 x)) = 2 \ln (x)$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$\ln (5 \cdot (6 x \cdot x) - 36 x) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\ln (5 \cdot (6 (x \cdot x)) - 36 x) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (5 \cdot (6 x^{2}) - 36 x) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$\ln (30 x^{2} - 36 x) = 2 \ln (x)$

Étape 2

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (30 x^{2} - 36 x) = \ln (x^{2})$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$30 x^{2} - 36 x = x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$30 x^{2} - 36 x - x^{2} = 0$

Étape 4.1.2

Soustrayez $x^{2}$ de $30 x^{2}$ .

$29 x^{2} - 36 x = 0$

Étape 4.2

Factorisez $x$ à partir de $29 x^{2} - 36 x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $29 x^{2}$ .

$x (29 x) - 36 x = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 36 x$ .

$x (29 x) + x \cdot - 36 = 0$

Étape 4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (29 x) + x \cdot - 36$ .

$x (29 x - 36) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$29 x - 36 = 0$

Étape 4.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.5

Définissez $29 x - 36$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $29 x - 36$ égal à $0$ .

$29 x - 36 = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $29 x - 36 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.5.2.1

Ajoutez $36$ aux deux côtés de l’équation.

$29 x = 36$

Étape 4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $29 x = 36$ par $29$ et simplifiez.

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Étape 4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $29 x = 36$ par $29$ .

$\frac{29 x}{29} = \frac{36}{29}$

Étape 4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $29$ .

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Étape 4.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{29 x}{29} = \frac{36}{29}$

Étape 4.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{36}{29}$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (29 x - 36) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{36}{29}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (5 x - 6) + \ln (6 x) = 2 \ln (x)$ vrai.

$x = \frac{36}{29}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{36}{29}$

Forme décimale :

$x = 1.24137931 \dots$

Forme de nombre mixte :

$x = 1 \frac{7}{29}$