Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (2 x - 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - \ln ({(2 x - 1)}^{2}) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$

Étape 5

Simplifiez $e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$ .

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 1 {(2 x - 1)}^{2}$

Étape 5.1.2

Multipliez ${(2 x - 1)}^{2}$ par $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = {(2 x - 1)}^{2}$

Étape 5.1.3

Réécrivez ${(2 x - 1)}^{2}$ comme $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = (2 x - 1) (2 x - 1)$

Étape 5.2

Développez $(2 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Étape 5.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Étape 5.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} = - 4 x + 1$

Étape 6.2

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} + 4 x = 1$

Étape 6.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 15 + 4 x = 1$

Étape 6.4

Additionnez $2 x$ et $4 x$ .

$x^{2} + 6 x - 15 = 1$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 6 x = 1 + 15$

Étape 7.2

Additionnez $1$ et $15$ .

$x^{2} + 6 x = 16$

Étape 8

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

Étape 9

Factorisez $x^{2} + 6 x - 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $6$ .

$- 2, 8$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 8) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 11

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 12

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 2, - 8$

Étape 14

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$ vrai.

$x = 2$