Calcul infinitésimal Exemples

$8 x - 2 x^{2} - x^{3} = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$8 u - 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Étape 1.2

Factorisez $u$ à partir de $8 u - 2 u^{2} - u^{3}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $8 u$ .

$u \cdot 8 - 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- 2 u^{2}$ .

$u \cdot 8 + u (- 2 u) - u^{3} = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $- u^{3}$ .

$u \cdot 8 + u (- 2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 8 + u (- 2 u)$ .

$u \cdot (8 - 2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Étape 1.2.5

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot (8 - 2 u) + u (- u^{2})$ .

$u (8 - 2 u - u^{2}) = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $8$ comme $9$ plus $- 1$

$u (9 - 1 - 2 u - u^{2}) = 0$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u (9 - (1^{2} + 2 u + u^{2})) = 0$

Étape 1.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot 1 \cdot u$

Étape 1.4.3

Réécrivez le polynôme.

$u (9 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2})) = 0$

Étape 1.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = u$ .

$u (9 - {(1 + u)}^{2}) = 0$

Étape 1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u (3^{2} - {(1 + u)}^{2}) = 0$

Étape 1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = 1 + u$ .

$u ((3 + 1 + u) (3 - (1 + u))) = 0$

Étape 1.7

Factorisez.

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Étape 1.7.1

Simplifiez

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Étape 1.7.1.1

Supprimez les parenthèses inutiles.

$u ((3 + 1 + u) (3 - (1 + u))) = 0$

Étape 1.7.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$u ((4 + u) (3 - (1 + u))) = 0$

Étape 1.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$u ((4 + u) (3 - 1 \cdot 1 - u)) = 0$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u ((4 + u) (3 - 1 - u)) = 0$

Étape 1.7.1.5

Soustrayez $1$ de $3$ .

$u ((4 + u) (2 - u)) = 0$

Étape 1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$u (4 + u) (2 - u) = 0$

Étape 1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (4 + x) (2 - x) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 + x = 0$

$2 - x = 0$

Étape 3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Définissez $4 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $4 + x$ égal à $0$ .

$4 + x = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (4 + x) (2 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4, 2$