Calcul infinitésimal Exemples

tan (2 x) = 1

$\tan (2 x) = 1$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur de la tangente.

2 x = arctan (1)

$2 x = \arctan (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de

arctan (1)

$\arctan (1)$ est

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$ par

2

$2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans

2 x = \frac{π}{4}

$2 x = \frac{π}{4}$ par

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2

Multipliez

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multipliez

$\frac{π}{4}$ par

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Étape 4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de

$π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Étape 5

Résolvez

$x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.1.2

Associez

$π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 5.1.4

Additionnez

$π \cdot 4$ et

$π$ .

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Étape 5.1.4.1

Remettez dans l’ordre

$π$ et

$4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 5.1.4.2

Additionnez

$4 \cdot π$ et

$π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par

$2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Multipliez

$\frac{5 π}{4}$ par

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Étape 5.2.3.2.2

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Étape 6

Déterminez la période de

$\tan (2 x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez

$b$ par

$2$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 2 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$2$ est

$2$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 7

La période de la fonction

$\tan (2 x)$ est

$\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier

$n$