Calcul infinitésimal Exemples

$\log (x + 3) + \log (4) = 2 \log (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 3) \cdot 4) = 2 \log (x)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 2 \log (x)$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\log (4 \cdot x + 3 \cdot 4) = 2 \log (x)$

Étape 1.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\log (4 x + 12) = 2 \log (x)$

Étape 2

Simplifiez $2 \log (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (4 x + 12) = \log (x^{2})$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$4 x + 12 = x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x + 12 - x^{2} = 0$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x + 12 - x^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 4.2.1.1.1

Déplacez $12$ .

$4 x - x^{2} + 12 = 0$

Étape 4.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $4 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 12 = 0$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 4 x + 12 = 0$

Étape 4.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) + 12 = 0$

Étape 4.2.1.4

Réécrivez $12$ comme $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Étape 4.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Étape 4.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 4 x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - 4 x - 12) = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 4.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 6) (x + 2)) = 0$

Étape 4.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 6) (x + 2) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 6) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 6, - 2$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x + 3) + \log (4) = 2 \log (x)$ vrai.

$x = 6$