Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{20}}{4 \sqrt{2}}$

Étape 1

Simplifiez $\frac{- 2 + \sqrt{20}}{4 \sqrt{2}}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{4 (5)}}{4 \sqrt{2}}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sin (x) = \frac{- 2 + \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4 \sqrt{2}}$

Étape 1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sin (x) = \frac{- 2 + 2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun à $- 2 + 2 \sqrt{5}$ et $4$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{5})$ .

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{4 \sqrt{2}}$

Étape 1.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{2 (2 \sqrt{2})}$

Étape 1.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{5})}{2 (2 \sqrt{2})}$

Étape 1.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.4.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 1.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.4.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 1.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sin (x) = \frac{(- 1 + \sqrt{5}) \sqrt{2}}{4}$

Étape 1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) = \frac{- 1 \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{2}}{4}$

Étape 1.7

Réécrivez $- 1 \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{2}}{4}$

Étape 1.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{5 \cdot 2}}{4}$

Étape 1.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{4}$

Étape 1.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2}) + \sqrt{10}}{4}$

Étape 1.11

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{10}$ .

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{10})}{4}$

Étape 1.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{2}) - 1 (- \sqrt{10})$ .

$\sin (x) = \frac{- (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{4}$

Étape 1.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.13.1

Réécrivez $- (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ comme $- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ .

$\sin (x) = \frac{- 1 (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{4}$

Étape 1.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4})$ .

$x = 0.45227844$

Étape 4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 5.2

L’angle résultant de $2.6893142$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) - 0.45227844 + 3.14159265$ .

$x = 2.6893142$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.45227844 + 2 π n, 2.6893142 + 2 π n$ , pour tout entier $n$