Calcul infinitésimal Exemples

$6 x e^{x y} = 5$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (6 x e^{x y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x e^{x y}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x y}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$6 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$6 (x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$6 (x (e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Multipliez $y$ par $1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y} \cdot 1)$

Étape 2.9

Multipliez $e^{x y}$ par $1$ .

$6 (x (e^{x y} (x y' + y)) + e^{x y})$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x (e^{x y} (x y') + e^{x y} y) + e^{x y})$

Étape 2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x (e^{x y} (x y')) + x (e^{x y} y) + e^{x y})$

Étape 2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x (e^{x y} (x y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Étape 2.10.4

Associez des termes.

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Étape 2.10.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 (x^{1} x (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Étape 2.10.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Étape 2.10.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (x^{1 + 1} (e^{x y} (y'))) + 6 (x (e^{x y} y)) + 6 e^{x y}$

Étape 2.10.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 x^{2} (e^{x y} (y')) + 6 x (e^{x y} y) + 6 e^{x y}$

Étape 2.10.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y}$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 e^{x y} x^{2} y' + 6 e^{x y} x y + 6 e^{x y}$ .

$6 x^{2} y' e^{x y} + 6 x y e^{x y} + 6 e^{x y} = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $6 x y e^{x y}$ des deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} y' e^{x y} + 6 e^{x y} = - 6 x y e^{x y}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $6 e^{x y}$ des deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$ par $6 x^{2} e^{x y}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{2} y' e^{x y} = - 6 x y e^{x y} - 6 e^{x y}$ par $6 x^{2} e^{x y}$ .

$\frac{6 x^{2} y' e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{2} y' e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y' e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y' e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $e^{x y}$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $6$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} e^{x y}$ .

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{6 (- x y e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x y e^{x y}}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x y e^{x y}$ .

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} e^{x y}$ .

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x (x e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (- y e^{x y})}{x (x e^{x y})} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{x y}$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 6 e^{x y}}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $6$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 e^{x y}$ .

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.5.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} e^{x y}$ .

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})}$

Étape 5.3.3.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{6 (- e^{x y})}{6 (x^{2} e^{x y})}$

Étape 5.3.3.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- e^{x y}}{x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.6

Annulez le facteur commun de $e^{x y}$ .

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Étape 5.3.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- e^{x y}}{x^{2} e^{x y}}$

Étape 5.3.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Étape 5.3.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{x^{2}}$