Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - \frac{n (n + 1)}{6}$

Étape 1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{n (n + 1) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$\frac{(n^{2} + n) (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.4

Développez $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1) - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $n^{2}$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.2.1

Déplacez $n$ .

$\frac{2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $n$ par $n^{2}$ .

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Étape 2.5.1.2.2.1

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $n^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5.1.5

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.5.1

Déplacez $n$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5.1.5.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1 - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5.1.6

Multipliez $n$ par $1$ .

$\frac{2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.5.2

Additionnez $n^{2}$ et $2 n^{2}$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n (n + 1)}{6}$

Étape 2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n \cdot n - n \cdot 1}{6}$

Étape 2.7

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1

Déplacez $n$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - (n \cdot n) - n \cdot 1}{6}$

Étape 2.7.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n^{2} - n \cdot 1}{6}$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n^{2} - n}{6}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez les termes opposés dans $2 n^{3} + 3 n^{2} + n - n^{2} - n$ .

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Étape 3.1.1

Soustrayez $n$ de $n$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} - n^{2} + 0}{6}$

Étape 3.1.2

Additionnez $2 n^{3} + 3 n^{2} - n^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} - n^{2}}{6}$

Étape 3.2

Soustrayez $n^{2}$ de $3 n^{2}$ .

$\frac{2 n^{3} + 2 n^{2}}{6}$

Étape 3.3

Factorisez $2 n^{2}$ à partir de $2 n^{3} + 2 n^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2 n^{2}$ à partir de $2 n^{3}$ .

$\frac{2 n^{2} (n) + 2 n^{2}}{6}$

Étape 3.3.2

Factorisez $2 n^{2}$ à partir de $2 n^{2}$ .

$\frac{2 n^{2} (n) + 2 n^{2} (1)}{6}$

Étape 3.3.3

Factorisez $2 n^{2}$ à partir de $2 n^{2} (n) + 2 n^{2} (1)$ .

$\frac{2 n^{2} (n + 1)}{6}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 n^{2} (n + 1)$ .

$\frac{2 (n^{2} (n + 1))}{6}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (n^{2} (n + 1))}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (n^{2} (n + 1))}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{n^{2} (n + 1)}{3}$