Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{{(2 i)}^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $2 i$ .

$\frac{1}{2^{3} i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8 i^{3}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 1.3

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{1}{8 (i^{2} \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{8 (- 1 \cdot i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 1.5

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{1}{8 \cdot - 1 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 1.6

Associez les exposants.

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Étape 1.6.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{- (8 i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 1.6.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{1}{- 8 i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{- 8 i}$ par le conjugué de $- 8 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1}{- 8 i} \cdot \frac{i}{i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 3

Multipliez.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{1 i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 3.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{i}{- 8 i i} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{i}{- 8 (i i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 3.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i)} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 3.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i}{- 8 (i^{1} i^{1})} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{i}{- 8 i^{1 + 1}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{i}{- 8 i^{2}} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 3.3.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{i}{- 8 \cdot - 1} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 4

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot {(e^{i x} - e^{- i x})}^{3}$

Étape 5

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{i}{8} \cdot ({(e^{i x})}^{3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{i x})}^{3}$ .

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{i x \cdot 3} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 {(e^{i x})}^{2} (- e^{- i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} + 3 \cdot - 1 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 {(e^{i x})}^{2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.4

Multipliez les exposants dans ${(e^{i x})}^{2}$ .

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Étape 6.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x \cdot 2} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{2 i x} e^{- i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.5

Multipliez $e^{2 i x}$ par $e^{- i x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.5.1

Déplacez $e^{- i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 (e^{- i x} e^{2 i x}) + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{- i x + 2 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.5.3

Additionnez $- i x$ et $2 i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{1 i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.5.4

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(- e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.6

Appliquez la règle de produit à $- e^{- i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} ({(- 1)}^{2} {(e^{- i x})}^{2}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 \cdot 1 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} {(e^{- i x})}^{2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.10

Multipliez les exposants dans ${(e^{- i x})}^{2}$ .

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Étape 6.1.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- i x \cdot 2} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{i x} e^{- 2 i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.11

Multipliez $e^{i x}$ par $e^{- 2 i x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.11.1

Déplacez $e^{- 2 i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 (e^{- 2 i x} e^{i x}) + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.11.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- 2 i x + i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.11.3

Additionnez $- 2 i x$ et $i x$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.12

Appliquez la règle de produit à $- e^{- i x}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} + {(- 1)}^{3} {(e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - {(e^{- i x})}^{3})$

Étape 6.1.14

Multipliez les exposants dans ${(e^{- i x})}^{3}$ .

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Étape 6.1.14.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- i x \cdot 3})$

Étape 6.1.14.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{i}{8} \cdot (e^{3 i x} - 3 e^{i x} + 3 e^{- i x} - e^{- 3 i x})$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i}{8} e^{3 i x} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{i}{8}$ et $e^{3 i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{i}{8} (- 3 e^{i x}) + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{i}{8} (- 3 e^{i x})$ .

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Étape 7.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{i}{8}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i}{8} e^{i x} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{- 3 i}{8}$ et $e^{i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{i}{8} (3 e^{- i x}) + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{i}{8} (3 e^{- i x})$ .

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Étape 7.3.1

Associez $3$ et $\frac{i}{8}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i}{8} e^{- i x} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{3 i}{8}$ et $e^{- i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} + \frac{i}{8} (- e^{- 3 i x})$

Étape 7.4

Associez $\frac{i}{8}$ et $e^{- 3 i x}$ .

$\frac{i e^{3 i x}}{8} + \frac{- 3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{i e^{3 i x}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Étape 9

Déplacez $i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Étape 10

Remettez dans l’ordre $i$ et $e^{3 x i}$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{i x}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Étape 11

Remettez dans l’ordre $i$ et $x$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Étape 12

Déplacez $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- i x}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Étape 13

Déplacez $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 i e^{- 1 x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Étape 14

Déplacez $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 i x}}{8}$

Étape 15

Déplacez $i$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$

Étape 16

Remettez dans l’ordre $i$ et $e^{- 3 x i}$ .

$\frac{e^{3 x i} i}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Étape 17

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{3 x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 e^{x i} i}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Étape 18

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- 1 x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Étape 19

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 e^{- x i} i}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Étape 20

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{- x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{e^{- 3 x i} i}{8}$

Étape 21

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- 3 x i} i$ .

$\frac{i e^{3 x i}}{8} - \frac{3 i e^{x i}}{8} + \frac{3 i e^{- x i}}{8} - \frac{i e^{- 3 x i}}{8}$