Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e - e^{- 1}}{e + e^{- 1}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Étape 1.2

Pour écrire $e$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e e}{e} - \frac{1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{e e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Étape 1.4

Réécrivez $\frac{e e - 1}{e}$ en forme factorisée.

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Étape 1.4.1

Multipliez $e e$ .

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Étape 1.4.1.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Étape 1.4.1.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Étape 1.4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Étape 1.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} - 1}{e}}{e + e^{- 1}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez $e^{2} - 1$ en forme factorisée.

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Étape 1.4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{e + e^{- 1}}$

Étape 1.4.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e$ et $b = 1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + e^{- 1}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{e + \frac{1}{e}}$

Étape 2.2

Pour écrire $e$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e e + 1}{e}}$

Étape 2.4

Multipliez $e e$ .

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Étape 2.4.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e + 1}{e}}$

Étape 2.4.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e}}$

Étape 2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e}}$

Étape 2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{\frac{e^{2} + 1}{e}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e} \cdot \frac{e}{e^{2} + 1}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$(e + 1) (e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 5

Développez $(e + 1) (e - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(e (e - 1) + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(e e + e \cdot - 1 + 1 (e - 1)) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(e e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $e e$ .

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Étape 6.1.1.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$(e^{1} e + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 6.1.1.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$(e^{1} e^{1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(e^{1 + 1} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 6.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(e^{2} + e \cdot - 1 + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e$ .

$(e^{2} - 1 \cdot e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $- 1 e$ comme $- e$ .

$(e^{2} - e + 1 e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 6.1.4

Multipliez $e$ par $1$ .

$(e^{2} - e + e + 1 \cdot - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(e^{2} - e + e - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 6.2

Additionnez $- e$ et $e$ .

$(e^{2} + 0 - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 6.3

Additionnez $e^{2}$ et $0$ .

$(e^{2} - 1) \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2} \frac{1}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 7.2

Associez $e^{2}$ et $\frac{1}{e^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $- 1 \frac{1}{e^{2} + 1}$ comme $- \frac{1}{e^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{2}}{e^{2} + 1} - \frac{1}{e^{2} + 1}$

Étape 7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{2} - 1}{e^{2} + 1}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{e^{2} - 1^{2}}{e^{2} + 1}$

Étape 8.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e$ et $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{(e + 1) (e - 1)}{e^{2} + 1}$

Forme décimale :

$0.76159415 \dots$