Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x}))}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}))}^{2}$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x}$ .

${(\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}))}^{2}$

Étape 1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- x}$ .

${(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})}^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez ${(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})}^{2}$ comme $(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$ .

$(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 2

Développez $(\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x}}{2} (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} (\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Associez.

$\frac{e^{x} e^{x}}{2 \cdot 2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.2

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x + x}}{2 \cdot 2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{e^{2 x}}{2 \cdot 2} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2}) - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{- x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.5

Multipliez $- \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{e^{- x}}{2}$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $\frac{e^{- x}}{2}$ par $\frac{e^{x}}{2}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{- x} e^{x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{- x + x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.5.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{e^{0}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.5.3

Simplifiez $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.5.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.6

Multipliez $- \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{x}}{2}$ .

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $\frac{e^{x}}{2}$ par $\frac{e^{- x}}{2}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{x} e^{- x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.6.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{x - x}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.6.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{0}}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.6.3

Simplifiez $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.6.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$

Étape 3.1.7

Multipliez $- \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{e^{- x}}{2})$ .

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Étape 3.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 \frac{e^{- x}}{2} \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 3.1.7.2

Multipliez $\frac{e^{- x}}{2}$ par $1$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 3.1.7.3

Multipliez $\frac{e^{- x}}{2}$ par $\frac{e^{- x}}{2}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- x} e^{- x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7.4

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.7.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- x - x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.7.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - 2 (\frac{1}{4}) + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} + 2 (- 1) \frac{1}{4} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{2 x}}{4} - 1 (\frac{1}{2}) + \frac{e^{- 2 x}}{4}$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$\frac{e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{4}$