Calcul infinitésimal Exemples

${(e^{t} - e^{- t})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(e^{t} - e^{- t})}^{2}$ comme $(e^{t} - e^{- t}) (e^{t} - e^{- t})$ .

$(e^{t} - e^{- t}) (e^{t} - e^{- t})$

Étape 2

Développez $(e^{t} - e^{- t}) (e^{t} - e^{- t})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{t} (e^{t} - e^{- t}) - e^{- t} (e^{t} - e^{- t})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{t} e^{t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} (e^{t} - e^{- t})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{t} e^{t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $e^{t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{t + t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.1.2

Additionnez $t$ et $t$ .

$e^{2 t} + e^{t} (- e^{- t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 t} - e^{t} e^{- t} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.3

Multipliez $e^{t}$ par $e^{- t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1

Déplacez $e^{- t}$ .

$e^{2 t} - (e^{- t} e^{t}) - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 t} - e^{- t + t} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.3.3

Additionnez $- t$ et $t$ .

$e^{2 t} - e^{0} - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.4

Simplifiez $- e^{0}$ .

$e^{2 t} - 1 - e^{- t} e^{t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.5

Multipliez $e^{- t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $e^{t}$ .

$e^{2 t} - 1 - (e^{t} e^{- t}) - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 t} - 1 - e^{t - t} - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.5.3

Soustrayez $t$ de $t$ .

$e^{2 t} - 1 - e^{0} - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.6

Simplifiez $- e^{0}$ .

$e^{2 t} - 1 - 1 - e^{- t} (- e^{- t})$

Étape 3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- t} e^{- t}$

Étape 3.1.8

Multipliez $e^{- t}$ par $e^{- t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.8.1

Déplacez $e^{- t}$ .

$e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- t})$

Étape 3.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- t - t}$

Étape 3.1.8.3

Soustrayez $t$ de $- t$ .

$e^{2 t} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 t}$

Étape 3.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{2 t} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 t}$

Étape 3.1.10

Multipliez $e^{- 2 t}$ par $1$ .

$e^{2 t} - 1 - 1 + e^{- 2 t}$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$e^{2 t} - 2 + e^{- 2 t}$