Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Étape 1.2

Associez.

$(x^{3} + 1) \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Étape 1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Étape 1.4

Multipliez $x^{3} + 1$ par $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Étape 1.5.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Étape 1.5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Étape 1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Étape 1.7

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 x^{2 + \frac{1}{2}}$

Étape 1.7.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 1.7.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 1.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}$

Étape 1.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{4 + 1}{2}}$

Étape 1.7.6.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 x^{\frac{5}{2}}$

Étape 1.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$

Étape 2

Pour écrire $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{3} - x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.6

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Associez les termes opposés dans $x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1$ .

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Étape 4.3.1

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x + 0 - x + 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.2

Additionnez $x^{3} + x$ et $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.4

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} + 1 - 3 x^{\frac{5}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{3} + 1 - 3 \cdot 2 x^{\frac{5}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.5

Multipliez $x^{\frac{5}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3} + 1 - 3 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 1 - 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{3} + 1 - 3 \cdot 2 x^{\frac{1 + 5}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.5.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{x^{3} + 1 - 3 \cdot 2 x^{\frac{6}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.5.5

Divisez $6$ par $2$ .

$\frac{x^{3} + 1 - 3 \cdot 2 x^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.6

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{x^{3} + 1 - 6 x^{3}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.7

Soustrayez $6 x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{3} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{- (5 x^{3}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (5 x^{3}) - 1 (- 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{3}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (5 x^{3} - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $- (5 x^{3} - 1)$ comme $- 1 (5 x^{3} - 1)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{3} - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x^{3} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$