Calcul infinitésimal Exemples

${(3 e^{4 x} + \cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${(3 e^{4 x})}^{6} + 6 {(3 e^{4 x})}^{5} \cos^{2} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{4} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $3 e^{4 x}$ .

$3^{6} {(e^{4 x})}^{6} + 6 {(3 e^{4 x})}^{5} \cos^{2} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{4} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.2

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$729 {(e^{4 x})}^{6} + 6 {(3 e^{4 x})}^{5} \cos^{2} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{4} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(e^{4 x})}^{6}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 e^{4 x \cdot 6} + 6 {(3 e^{4 x})}^{5} \cos^{2} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{4} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.3.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$729 e^{24 x} + 6 {(3 e^{4 x})}^{5} \cos^{2} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{4} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $3 e^{4 x}$ .

$729 e^{24 x} + 6 (3^{5} {(e^{4 x})}^{5}) \cos^{2} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{4} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.5

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$729 e^{24 x} + 6 (243 {(e^{4 x})}^{5}) \cos^{2} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{4} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.6

Multipliez les exposants dans ${(e^{4 x})}^{5}$ .

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 e^{24 x} + 6 (243 e^{4 x \cdot 5}) \cos^{2} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{4} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.6.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$729 e^{24 x} + 6 (243 e^{20 x}) \cos^{2} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{4} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.7

Multipliez $243$ par $6$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{4} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.8

Appliquez la règle de produit à $3 e^{4 x}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 15 (3^{4} {(e^{4 x})}^{4}) {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.9

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 15 (81 {(e^{4 x})}^{4}) {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.10

Multipliez les exposants dans ${(e^{4 x})}^{4}$ .

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Étape 2.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 15 (81 e^{4 x \cdot 4}) {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.10.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 15 (81 e^{16 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.11

Multipliez $81$ par $15$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} {(\cos^{2} (5 x))}^{2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.12

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (5 x))}^{2}$ .

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Étape 2.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} {\cos (5 x)}^{2 \cdot 2} + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 20 {(3 e^{4 x})}^{3} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.13

Appliquez la règle de produit à $3 e^{4 x}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 20 (3^{3} {(e^{4 x})}^{3}) {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.14

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 20 (27 {(e^{4 x})}^{3}) {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.15

Multipliez les exposants dans ${(e^{4 x})}^{3}$ .

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Étape 2.15.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 20 (27 e^{4 x \cdot 3}) {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.15.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 20 (27 e^{12 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.16

Multipliez $27$ par $20$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} {(\cos^{2} (5 x))}^{3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.17

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (5 x))}^{3}$ .

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Étape 2.17.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} {\cos (5 x)}^{2 \cdot 3} + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.17.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 15 {(3 e^{4 x})}^{2} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.18

Appliquez la règle de produit à $3 e^{4 x}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 15 (3^{2} {(e^{4 x})}^{2}) {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.19

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 15 (9 {(e^{4 x})}^{2}) {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.20

Multipliez les exposants dans ${(e^{4 x})}^{2}$ .

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Étape 2.20.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 15 (9 e^{4 x \cdot 2}) {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.20.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 15 (9 e^{8 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.21

Multipliez $9$ par $15$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 135 e^{8 x} {(\cos^{2} (5 x))}^{4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.22

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (5 x))}^{4}$ .

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Étape 2.22.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 135 e^{8 x} {\cos (5 x)}^{2 \cdot 4} + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.22.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 135 e^{8 x} \cos^{8} (5 x) + 6 (3 e^{4 x}) {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.23

Multipliez $3$ par $6$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 135 e^{8 x} \cos^{8} (5 x) + 18 e^{4 x} {(\cos^{2} (5 x))}^{5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.24

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (5 x))}^{5}$ .

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Étape 2.24.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 135 e^{8 x} \cos^{8} (5 x) + 18 e^{4 x} {\cos (5 x)}^{2 \cdot 5} + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.24.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 135 e^{8 x} \cos^{8} (5 x) + 18 e^{4 x} \cos^{10} (5 x) + {(\cos^{2} (5 x))}^{6}$

Étape 2.25

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (5 x))}^{6}$ .

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Étape 2.25.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 135 e^{8 x} \cos^{8} (5 x) + 18 e^{4 x} \cos^{10} (5 x) + {\cos (5 x)}^{2 \cdot 6}$

Étape 2.25.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$729 e^{24 x} + 1458 e^{20 x} \cos^{2} (5 x) + 1215 e^{16 x} \cos^{4} (5 x) + 540 e^{12 x} \cos^{6} (5 x) + 135 e^{8 x} \cos^{8} (5 x) + 18 e^{4 x} \cos^{10} (5 x) + \cos^{12} (5 x)$