Calcul infinitésimal Exemples

$(\frac{1}{\sqrt{t + h}}) - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{t + h}}$ par $\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{t + h}} \cdot \frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{t + h}}$ par $\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{\sqrt{t + h} \sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2.2

Élevez $\sqrt{t + h}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1} \sqrt{t + h}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2.3

Élevez $\sqrt{t + h}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1} {\sqrt{t + h}}^{1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{1 + 1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{\sqrt{t + h}}^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{t + h}}^{2}$ comme $t + h$ .

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Étape 1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t + h}$ comme ${(t + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{({(t + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{2}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{\frac{2}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{t + h}}{{(t + h)}^{1}} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.2.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - (\frac{1}{\sqrt{t}})$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{t}}$ par $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - (\frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}})$

Étape 1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{t}}$ par $\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{t} \sqrt{t}}$

Étape 1.4.2

Élevez $\sqrt{t}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} \sqrt{t}}$

Étape 1.4.3

Élevez $\sqrt{t}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1} {\sqrt{t}}^{1}}$

Étape 1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{1 + 1}}$

Étape 1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{\sqrt{t}}^{2}}$

Étape 1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{t}}^{2}$ comme $t$ .

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Étape 1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t^{1}}$

Étape 1.4.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} - \frac{\sqrt{t}}{t}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\sqrt{t + h}}{t + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t}{t}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} \cdot \frac{t}{t} - \frac{\sqrt{t}}{t}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{\sqrt{t}}{t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t + h}{t + h}$ .

$\frac{\sqrt{t + h}}{t + h} \cdot \frac{t}{t} - \frac{\sqrt{t}}{t} \cdot \frac{t + h}{t + h}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(t + h) t$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{t + h}}{t + h}$ par $\frac{t}{t}$ .

$\frac{\sqrt{t + h} t}{(t + h) t} - \frac{\sqrt{t}}{t} \cdot \frac{t + h}{t + h}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{t}}{t}$ par $\frac{t + h}{t + h}$ .

$\frac{\sqrt{t + h} t}{(t + h) t} - \frac{\sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(t + h) t$ .

$\frac{\sqrt{t + h} t}{t (t + h)} - \frac{\sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{t + h} t - \sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t + h}$ comme ${(t + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - \sqrt{t} (t + h)}{t (t + h)}$

Étape 6.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} (t + h)}{t (t + h)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Étape 6.4

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1

Déplacez $t$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $t$ par $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.4.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Étape 6.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{1 + \frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Étape 6.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Étape 6.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{2 + 1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Étape 6.4.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{{(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Étape 6.5

Réécrivez ${(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h$ en forme factorisée.

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Étape 6.5.1

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(t + h)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h$ .

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Étape 6.5.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 6.5.1.1.1

Remettez dans l’ordre $t$ et $h$ .

$\frac{{(h + t)}^{\frac{1}{2}} t - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Étape 6.5.1.1.2

Remettez dans l’ordre ${(h + t)}^{\frac{1}{2}}$ et $t$ .

$\frac{t {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{1}{2}} h}{t (t + h)}$

Étape 6.5.1.1.3

Déplacez $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

Étape 6.5.1.2

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t {(h + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) - t^{\frac{3}{2}} - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

Étape 6.5.1.3

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}}) - h t^{\frac{1}{2}}}{t (t + h)}$

Étape 6.5.1.4

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- h t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)}{t (t + h)}$

Étape 6.5.1.5

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)}{t (t + h)}$

Étape 6.5.1.6

Factorisez $t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} (- h)$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2}} - h)}{t (t + h)}$

Étape 6.5.2

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t^{1} - h)}{t (t + h)}$

Étape 6.5.3

Simplifiez

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h)}{t (t + h)}$

Étape 7

Placez $t^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t (t + h) t^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 8

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Déplacez $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2}} t (t + h)}$

Étape 8.2

Multipliez $t^{- \frac{1}{2}}$ par $t$ .

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Étape 8.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (t + h)}$

Étape 8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (t + h)}$

Étape 8.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (t + h)}$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (t + h)}$

Étape 8.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} {(h + t)}^{\frac{1}{2}} - t - h}{t^{\frac{1}{2}} (t + h)}$