Calcul infinitésimal Exemples

$f (z) = (4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 z^{3} - z)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = 4 z^{4} + 2 z^{2} + 1$ et $g (z) = 2 z^{3} - z$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [2 z^{3} - z] + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 z^{3} - z$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [2 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (\frac{d}{d z} [2 z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d z} [2 z^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $2 z^{3}$ par rapport à $z$ est $2 \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (2 (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} + \frac{d}{d z} [- z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d z} [- z]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- z$ par rapport à $z$ est $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - \frac{d}{d z} [z]) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1 \cdot 1) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) \frac{d}{d z} [4 z^{4} + 2 z^{2} + 1]$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 z^{4} + 2 z^{2} + 1$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [4 z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (\frac{d}{d z} [4 z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d z} [4 z^{4}]$ .

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Étape 6.1

Comme $4$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $4 z^{4}$ par rapport à $z$ est $4 \frac{d}{d z} [z^{4}]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (4 \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (4 (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Étape 6.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + \frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Étape 7

Évaluez $\frac{d}{d z} [2 z^{2}]$ .

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $2 z^{2}$ par rapport à $z$ est $2 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 2 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 2 (2 z) + \frac{d}{d z} [1])$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z + \frac{d}{d z} [1])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 8.1

Comme $1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z + 0)$

Étape 8.2

Additionnez $16 z^{3} + 4 z$ et $0$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Factorisez $1$ à partir de $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $1$ à partir de $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)$ .

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

Étape 9.1.2

Factorisez $1$ à partir de $(2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ .

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + 1 ((2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$

Étape 9.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)) + 1 ((2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$ .

$1 ((4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z))$

Étape 9.2

Multipliez $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$ par $1$ .

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (2 z^{3} - z) (16 z^{3} + 4 z)$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1) + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.1

Développez $(4 z^{4} + 2 z^{2} + 1) (6 z^{2} - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$4 z^{4} (6 z^{2}) + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot 6 z^{4} z^{2} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.2

Multipliez $z^{4}$ par $z^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.2.2.1

Déplacez $z^{2}$ .

$4 \cdot 6 (z^{2} z^{4}) + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cdot 6 z^{2 + 4} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.2.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$4 \cdot 6 z^{6} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 z^{6} + 4 z^{4} \cdot - 1 + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 z^{2} (6 z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{2} z^{2} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.6

Multipliez $z^{2}$ par $z^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.2.6.1

Déplacez $z^{2}$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 (z^{2} z^{2}) + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{2 + 2} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.6.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 2 \cdot 6 z^{4} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} + 2 z^{2} \cdot - 1 + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 1 (6 z^{2}) + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.9

Multipliez $6 z^{2}$ par $1$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} + 1 \cdot - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$24 z^{6} - 4 z^{4} + 12 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.3

Additionnez $- 4 z^{4}$ et $12 z^{4}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} - 2 z^{2} + 6 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.4

Additionnez $- 2 z^{2}$ et $6 z^{2}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + (16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.5

Développez $(16 z^{3} + 4 z) (2 z^{3} - z)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3} - z) + 4 z (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3} - z)$

Étape 9.4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 z^{3} (2 z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{3} z^{3} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.2

Multipliez $z^{3}$ par $z^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.6.1.2.1

Déplacez $z^{3}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 (z^{3} z^{3}) + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{3 + 3} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.2.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 16 \cdot 2 z^{6} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.3

Multipliez $16$ par $2$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 z^{3} (- z) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{3} z + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.5

Multipliez $z^{3}$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.6.1.5.1

Déplacez $z$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 (z \cdot z^{3}) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.5.2

Multipliez $z$ par $z^{3}$ .

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Étape 9.4.6.1.5.2.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 (z^{1} z^{3}) + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{1 + 3} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.5.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 16 \cdot - 1 z^{4} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.6

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 z (2 z^{3}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z \cdot z^{3} + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.8

Multipliez $z$ par $z^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.6.1.8.1

Déplacez $z^{3}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 (z^{3} z) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.8.2

Multipliez $z^{3}$ par $z$ .

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Étape 9.4.6.1.8.2.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 (z^{3} z^{1}) + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z^{3 + 1} + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.8.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 4 \cdot 2 z^{4} + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.9

Multipliez $4$ par $2$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 z (- z)$

Étape 9.4.6.1.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 z \cdot z$

Étape 9.4.6.1.11

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.4.6.1.11.1

Déplacez $z$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 (z \cdot z)$

Étape 9.4.6.1.11.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} + 4 \cdot - 1 z^{2}$

Étape 9.4.6.1.12

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 16 z^{4} + 8 z^{4} - 4 z^{2}$

Étape 9.4.6.2

Additionnez $- 16 z^{4}$ et $8 z^{4}$ .

$24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 8 z^{4} - 4 z^{2}$

Étape 9.5

Associez les termes opposés dans $24 z^{6} + 8 z^{4} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 8 z^{4} - 4 z^{2}$ .

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Étape 9.5.1

Soustrayez $8 z^{4}$ de $8 z^{4}$ .

$24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} + 0 - 4 z^{2}$

Étape 9.5.2

Additionnez $24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6}$ et $0$ .

$24 z^{6} + 4 z^{2} - 1 + 32 z^{6} - 4 z^{2}$

Étape 9.5.3

Soustrayez $4 z^{2}$ de $4 z^{2}$ .

$24 z^{6} - 1 + 32 z^{6} + 0$

Étape 9.5.4

Additionnez $24 z^{6} - 1 + 32 z^{6}$ et $0$ .

$24 z^{6} - 1 + 32 z^{6}$

Étape 9.6

Additionnez $24 z^{6}$ et $32 z^{6}$ .

$56 z^{6} - 1$