Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{5} - 9 x^{4} - 28 x^{3} + 84 x^{2} + 9 x - 27 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$3 x^{5} - 28 x^{3} + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{5} - 28 x^{3} + 9 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{5}$ .

$x (3 x^{4}) - 28 x^{3} + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 28 x^{3}$ .

$x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2}) + 9 x - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $9 x$ .

$x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2}) + x \cdot 9 - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{4}) + x (- 28 x^{2})$ .

$x (3 x^{4} - 28 x^{2}) + x \cdot 9 - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{4} - 28 x^{2}) + x \cdot 9$ .

$x (3 x^{4} - 28 x^{2} + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (3 {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (3 u^{2} - 28 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ et dont la somme est $b = - 28$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $- 28$ à partir de $- 28 u$ .

$x (3 u^{2} - 28 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.5.1.2

Réécrivez $- 28$ comme $- 1$ plus $- 27$

$x (3 u^{2} + (- 1 - 27) u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 u^{2} - 1 u - 27 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x ((3 u^{2} - 1 u) - 27 u + 9) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (u (3 u - 1) - 9 (3 u - 1)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u - 1$ .

$x ((3 u - 1) (u - 9)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((3 x^{2} - 1) (x^{2} - 9)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.7

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x ((3 x^{2} - 1) (x^{2} - 3^{2})) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.8

Factorisez.

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Étape 1.8.1

Factorisez.

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Étape 1.8.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x ((3 x^{2} - 1) ((x + 3) (x - 3))) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.8.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) - 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.9

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x^{4} + 84 x^{2} - 27$ .

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Étape 1.9.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x^{4}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 84 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.9.2

Factorisez $3$ à partir de $84 x^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2}) - 27 = 0$

Étape 1.9.3

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2}) + 3 (- 9) = 0$

Étape 1.9.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 3 x^{4}) + 3 (28 x^{2})$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2}) + 3 (- 9) = 0$

Étape 1.9.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2}) + 3 (- 9)$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{4} + 28 x^{2} - 9) = 0$

Étape 1.10

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 {(x^{2})}^{2} + 28 x^{2} - 9) = 0$

Étape 1.11

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 28 u - 9) = 0$

Étape 1.12

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.12.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot - 9 = 27$ et dont la somme est $b = 28$ .

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Étape 1.12.1.1

Factorisez $28$ à partir de $28 u$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 28 (u) - 9) = 0$

Étape 1.12.1.2

Réécrivez $28$ comme $1$ plus $27$

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + (1 + 27) u - 9) = 0$

Étape 1.12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + 1 u + 27 u - 9) = 0$

Étape 1.12.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 u^{2} + u + 27 u - 9) = 0$

Étape 1.12.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.12.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 u^{2} + u) + 27 u - 9) = 0$

Étape 1.12.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (u (- 3 u + 1) - 9 (- 3 u + 1)) = 0$

Étape 1.12.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 u + 1$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 u + 1) (u - 9)) = 0$

Étape 1.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x^{2} - 9)) = 0$

Étape 1.14

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Étape 1.15

Factorisez.

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Étape 1.15.1

Factorisez.

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Étape 1.15.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Étape 1.15.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 ((- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 1.15.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 1.16

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ .

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Étape 1.16.1

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $x (3 x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + 3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 1.16.2

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $3 (- 3 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + (x + 3) (x - 3) (3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.16.3

Factorisez $(x + 3) (x - 3)$ à partir de $(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1)) + (x + 3) (x - 3) (3 (- 3 x^{2} + 1))$ .

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2} - 1) + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.17

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 3) (x - 3) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.18

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x + 3) (x - 3) (3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.19

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x \cdot x^{2} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.20

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.20.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.20.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.20.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.20.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 (x^{2} x) - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.20.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{2 + 1} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.20.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 1 \cdot x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 1 x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.20.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x + 3 (- 3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.21

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x + 3 (- 3 x^{2}) + 3 \cdot 1) = 0$

Étape 1.22

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x - 9 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Étape 1.23

Multipliez $3$ par $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - x - 9 x^{2} + 3) = 0$

Étape 1.24

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{3} - 9 x^{2} - x + 3) = 0$

Étape 1.25

Factorisez.

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Étape 1.25.1

Réécrivez $3 x^{3} - 9 x^{2} - x + 3$ en forme factorisée.

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Étape 1.25.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.25.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 3) (x - 3) ((3 x^{3} - 9 x^{2}) - x + 3) = 0$

Étape 1.25.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 3) (x - 3) (3 x^{2} (x - 3) - (x - 3)) = 0$

Étape 1.25.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 3) (3 x^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.25.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x - 3) (x - 3) (3 x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.26

Associez les exposants.

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Étape 1.26.1

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (3 x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.26.2

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (3 x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.26.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1} (3 x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.26.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x + 3) {(x - 3)}^{2} (3 x^{2} - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$3 x^{2} - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Définissez $3 x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $3 x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) {(x - 3)}^{2} (3 x^{2} - 1) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 3, 3, \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$x = - 3, 3, 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$